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capitolo xv — § 96 bis

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in $\delta$, cosicchè $m\geq F\geq M$, allora, poichè $\int _{a}^{b}F(x)dx$ e $\Sigma F\delta$ sono entrambi compresi tra $\Sigma m\delta$ e $\Sigma M\delta$, avremo che:

Dato che un numero $\epsilon$ piccolo a piacere, posso scegliere i $\delta$ così piccoli che

$|\Sigma F\delta -\int _{a}^{b}F(x)dx|<\epsilon$.

Cosicchè con facile estensione della definizione di limite, possiamo enunciare il seguente teorema:

Lo $\mathrm {\int _{a}^{b}F(x)dx}$ non solo è il numero che supera le classi contigue descritte dalle $\mathrm {\Sigma m\delta ,\Sigma M\delta }$, ma è anche il limite di ${\Sigma F\delta }$ quando tutti i $\delta$ tendono a zero, se $\mathrm {F}$ è un qualsiasi numero compreso tra $\mathrm {M}$ ed $\mathrm {m}$ (od eventualmente uguale anche ad $M$ o a $m$).

Se noi confrontiamo quest'ultimo teorema $\int _{a}^{b}F(x)dx=\lim _{\delta =0}\Sigma F\delta$ col teorema dato in ($\alpha$), pag. 315, cioè $\int _{a}^{b}F(x)dx=\Sigma {\bar {F}}\delta$, vediamo che tanto $F$ che ${\bar {F}}$ rappresentano una quantità compresa tra $m$ ed $M$. Ma mentre $F$ è una quantità arbitrariamente scelta tra $m$ e $M$, la ${\bar {F}}$ è un numero convenientemente scelto tra $m$ ed $M$. Cosicchè nella

$\int _{a}^{b}F(x)dx=\lim _{\delta =0}(F_{1}\delta _{1}+F_{2}\delta _{2}+.....+F_{n}\delta _{n})$

si potrebbe quasi dire che il passaggio al limite (quando tutti i $\delta$ tendono a zero) corregge l'errore commesso scegliendo i valori intermedi $F_{i}$ in modo arbitrario tra $m_{i}$ ed $M_{i}$.

$\gamma$) Un caso particolare della nostra formola si ottiene nel modo seguente:

Si divida l'intervallo $(a,b)$ in $n$ intervallini parziali $\delta _{i}$, i cui estremi $a:1=a,a_{2},a_{3},.....,a_{n+1}=b$ formino una progressione aritmetica; tutti questi intervallini saranno uguali tra di loro ed avranno ${\frac {b-a}{n}}$ come lunghezza comune.

Se come $F_{r}$ scegliamo il valore di $F(x)$, p. es., nell'estremo destro $a+r{\frac {b-a}{n}}$ del corrispondente intervallo $\delta _{r}$, otterremo che:

(I)     $\int _{a}^{b}F(X)dx=\lim _{n=\infty }{\frac {b-a}{n}}\left\{F\left(a+{\frac {b-a}{n}}\right)+\right.$

$\left.+F\left(a+2{\frac {b-a}{n}}\right)+F\left(a+3{\frac {b-a}{n}}\right)+...+F\left(a+m{\frac {b-a}{n}}\right)\right\}$.