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Si può rendere piccola a piacere (minore di un $\epsilon >0$ piccolo a piacere) la differenza $\mathrm {\Sigma M\delta -\Sigma m\delta }$, considerando degli intervallini $\mathrm {\delta }$ abbastanza piccoli [che tale differenza (non conveniente scelta dei $\delta$] si possa rendere piccola, segue dal precedente teorema; la presente osservazione precisa che i $\delta$ saranno scelti convenientemente, se saranno scelti abbastanza piccoli]. A fortiori, se indichiamo con $F$ uno qualunque dei valori asunti da $F(x)$

sterà un sistema di intervallini parziali $\theta _{1},\theta _{2},.....,\theta _{n}$ tali che, se $\mu$ è il minimo di $F(x)$ in $\theta$, sia

$\int _{a}^{b}F(x)dx\geq \Sigma \mu \theta \geq \int _{a}^{b}F(x)dx-{\frac {\epsilon }{2}}.$

E ciò perchè $\int _{a}^{b}F(x)dx$ è proprio il limite superiore delle $\Sigma m\delta$ (o delle $\Sigma \mu \theta$).

Consideriamo un altro qualsiasi sistema di intervalli $\delta$, ciascuno dei quali sia più piccolo del minimo tra gli intervalli $\theta$ e sia più piccolo anche di ${\frac {\epsilon }{2nH}}$, se $H$ è il massimo di $|f(x)|$ in $(a,b)$. Sia $\delta '$ quel sistema di intervallini che si ottiene dividendo $(a,b)$ in parti sia coi punti estremi dei $\theta$, sia coi punti estremi del $\delta$. Poichè i $\delta '$ sono ottenuti sia dai $\delta$ che dai $\theta$, intercalando nuovi punti di divisione, sarà: $\Sigma m'\delta '\geq \Sigma \mu \theta$; $\Sigma m'\delta '\geq \Sigma m\delta$,mentre è $\int _{a}^{b}F(x)dx\geq \Sigma m'\delta '$.

Ora nel passare dai $\delta$ agli intervallini $\delta '$, al più $n$ degli intervalli $\delta$ sono stati divisi in (due) parti (perchè un $\delta$ non può contenere tutto un $\theta$ per l'ipotesi fatta) e gli intervallini $\delta '$, che si ottengono dividendo oin due parti al più $n$ intervalli $\delta$ hanno complessivamente una lunghezza che non può superare ${\frac {\epsilon }{2nH}}$ $\left({\text{perch+ ogni}}\delta {\text{non supera}}{\frac {\epsilon }{2nH}}\right)$. Il contributo che essi danno nella somma $\Sigma m'\delta '$ non può superare $nH{\frac {\epsilon }{2nH}}={\frac {\epsilon }{2}}$.

Poichè gli altri intervalli $\delta$ sono contemporaneamente intervalli $\delta '$, la somma $\Sigma m'\delta '$ superarà $\Sigma m\delta$ al più di ${\frac {\epsilon }{2}}$; cosicchè $\Sigma m\delta \geq \Sigma m'\delta '-{\frac {\epsilon }{2}}$.

Poichè $\Sigma m'\delta '\geq \Sigma \mu \theta \int _{a}^{b}F(x)dx-{\frac {\epsilon }{2}}$, sarà: $m\delta \geq \int _{a}^{b}F(x)dx-\epsilon$. È già noto che $\int _{a}^{b}F(x)dx\geq \Sigma m\delta$. Cosicchè, se i $\delta$ sono scelti abbastanza piccoli (nel modo sopra precisato), la $\Sigma m\delta$ differisce da $\int _{a}^{b}F(x)$ per mendo di $\epsilon$

In modo analogo si prova che, se i $\delta$ sono abbastanza piccoli, $\Sigma M\delta$ differisce da $\int _{a}^{b}F(x)dx$ per meno di $\epsilon$. Quindi, preso un numero $2\epsilon >$ piccolo a piacere, possiamo scegliere un numero $\tau$ tale che, se tutti i $\delta$ sono minori di $\tau$, allora $[\Sigma M\delta -\Sigma m\delta ]$ sia minore di $2\epsilon$. c.d.d.