La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce/Paragrafo 4

by Antonio Garbasso

§ 4.

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Antonio Garbasso - La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce (1893)

§ 4.

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§4.

Le quantità $f.g.h$ si debbono considerare come funzioni del tempo; producendosi delle nuove decomposizioni di fluido neutro nell’elemento $x.y.z$ le elettricità libere che ne risultano continueranno ad accumularsi sulle faccie, così p. e. la quantità $f\,dy\,dz$ di elettricità positiva che stava nell’istante $t$ su una delle faccie normali ad $x$, alla fine del tempo $t+dt$ sarà divenuta:

$[f+{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt]\,dy\,dz$;

${\frac {\partial f}{\partial t}}$ è dunque «la quantità di elettricità positiva che passa nell’unità di tempo attraverso a una sezione di area uno, normale nel punto $x.y.z$ all’asse delle $x$».

Significati analoghi hanno ${\frac {\partial g}{\partial t}}$ e ${\frac {\partial h}{\partial t}}$.

Porremo:

[1]

${\begin{cases}u&=&{\dfrac {\partial f}{\partial t}}&=&{\dfrac {\varepsilon }{4\pi }}{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}},\\v&=&{\dfrac {\partial g}{\partial t}}&=&{\dfrac {\varepsilon }{4\pi }}{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}},\\w&=&{\dfrac {\partial h}{\partial t}}&=&{\dfrac {\varepsilon }{4\pi }}{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial t}}.\end{cases}}$

e diremo che $u.v.w$ sono «le componenti della corrente di polarizzazione dielettrica al tempo $t$ nel punto $x.y.z$».

Le correnti la cui azione magnetica si rappresenta con la legge di Biot e Savart si intende che siano lineari cioè tali che le dimensioni trasversali dei conduttori che le trasmettono siano piccolissime rispetto alle altre lunghezze che si hanno a considerare nel fenomeno.

Quando non fosse così si potrebbe sempre intendere la sezione del conduttore divisa in elementi, quindi la corrente in altrettante correnti elementari: ad ognuna di queste la legge di Biot e Savart sarebbe applicabile.

Intesa la legge fondamentale dell’elettro-magnetismo in questo modo la seconda ipotesi della teoria di Maxwell si può enunciare così «ammettiamo che le correnti di polarizzazione dielettrica diano origine a forze magnetiche, rette dalla legge di Biot e Savart».

In un piano sia tracciato un contorno chiuso e su esso si immagini che possa muoversi l’unità elettromagnetica di magnetismo nord; di più una corrente di intensità $i$ traversi normalmente il piano stesso: produrrà in ogni punto del contorno una forza magnetica.

Si faccia descrivere all’unità di magnetismo l’intero contorno, segue immediatamente dalla legge di Biot e Savart che:

«il lavoro compiuto in tale movimento dalla forza magnetica è nullo se la corrente taglia il piano fuori dell’area racchiusa dal contorno; è uguale a $4\pi \mathrm {A} i$ nel caso contrario purchè il moto segna nel senso stesso in cui la forza magnetica tenderebbe a spostare l’unità di magnetismo».

Di più è evidente che:

«è sempre nullo il lavoro della forza magnetica dovuta a una corrente quando l’unità di magnetismo si muove in un modo qualunque in un piano che contiene la corrente».

Ciò posto per il punto $\mathrm {P} (x.y.z)$ del mezzo dielettrico si conducano tre assi $\xi \,\eta \,\zeta$ paralleli a quelli delle coordinate, nel piano $\xi \,\eta$ si descriva un rettangolo elementare $\mathrm {ABCD}$ con l’intersezione delle diagonali in $\mathrm {P}$, i lati secondo $\xi$ ed $\eta$, di lunghezze $dx$ e $dy$. Le lettere $\mathrm {A.B.C.D}$ sono distribuite in modo che si incontrano nell’ordine alfabetico seguendo il contorno secondo il senso in cui trasporterebbe su esso un polo magnetico nord una corrente diretta secondo le $\zeta$ positive; la direzione del lato $\mathrm {AB}$ è quella delle $\xi$ positive. In ogni punto del contorno $\mathrm {ABCD}$ esiste una forza magnetica dovuta alle correnti di polarizzazione e di conduzione¹ che sono nel campo: ora queste correnti sono di quattro specie:

$\alpha$) le correnti parallele al piano $\xi \,\eta$ ma fuori di esso;

$\beta$) le correnti che sono nel piano $\xi \,\eta$;

$\gamma$) le correnti normali al piano $\xi \,\eta$, che lo tagliano fuori del contorno $\mathrm {ABCD}$;

$\delta$) la corrente (di polarizzazione) normale al piano $\xi \,\eta$ che passa entro $\mathrm {ABCD}$.

Ne segue che la forza magnetica totale si può considerare come la risultante di quattro, il lavoro della risultante sarà la somma dei lavori delle componenti.

Ora il lavoro delle forze dovute alle correnti $\alpha$ e $\gamma$ è nullo per il primo dei teoremi ricordati dianzi; parimenti è nullo il lavoro della forza dovuta alle correnti $\beta$ per il terzo teorema; dunque: «facendo descrivere all’unità di magnetismo l’intero contorno $\mathrm {ABCD}$ il lavoro della forza magnetica totale risulta in definitiva uguale a quello che compirebbe da sola la forza dovuta alla corrente di polarizzazione che traversa l’elemento $\mathrm {ABCD}$».

Questa corrente ha l’intensità $w\,dx\,dy$, dunque (se si muove l’unità di magnetismo nel senso $\mathrm {A.B.C.D}$) il lavoro della forza magnetica nell’intera rivoluzione è

$4\,\pi \,\mathrm {A} \,w\,dx\,dy$.

Del medesimo lavoro possiamo dare un’espressione in funzione delle componenti della forza magnetica totale.

Lungo il tratto $\mathrm {BC}$ lavora la sola componente che è secondo $y$, di grandezza

$\mathrm {M} +{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}{\frac {dx}{2}}$,

il lavoro è dunque:

$-\left(\mathrm {M} +{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}{\frac {dx}{2}}\right)\,dy$

Similmente il lavoro lungo $\mathrm {CD}$ è:

$-\left(\mathrm {L} -{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}{\frac {dy}{2}}\right)\,dx$,

lungo $\mathrm {DA}$:

$\left(\mathrm {M} -{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}{\frac {dx}{2}}\right)\,dy$,

lungo $\mathrm {AB}$:

$\left(\mathrm {L} +{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}{\frac {dy}{2}}\right)\,dx$,

e però il lavoro totale è:

$\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}\right)\,dx\,dy$.

Uguagliando questo valore del lavoro a quello trovato prima si ottiene:

$4\,\pi \,\mathrm {A} \,w={\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}.$

Ma per le equazioni [1] § 4.

$w={\frac {\varepsilon }{4\pi }}{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial t}}$,

dunque:

$\mathrm {A} \varepsilon {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}.$

Ripetendo le stesse considerazioni per elementi posti nei piani $\eta \,\zeta$ e $\zeta \,\xi$ si otterrebbero due equazioni analoghe: le diamo qui sotto, riscrivendo quella testè ottenuta:

[2]

${\begin{cases}\mathrm {A} \varepsilon {\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}&=&{\dfrac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}-{\dfrac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}},\\\mathrm {A} \varepsilon {\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}&=&{\dfrac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}-{\dfrac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}},\\\mathrm {A} \varepsilon {\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial t}}&=&{\dfrac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}-{\dfrac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}.\end{cases}}$

Note

1. Escludiamo ora ed in seguito la presenza nel campo di calamite permanenti.