La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce/Paragrafo 5

by Antonio Garbasso

§ 5.

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Antonio Garbasso - La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce (1893)

§ 5.

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§5.

Perchè in uno spazio preventivamente in quiete si producano delle polarizzazioni dielettriche e magnetiche è necessario che le forze elettriche e magnetiche, qualunque sia la loro origine, compiano un certo lavoro; all’elemento di questo lavoro corrisponderà un incremento¹ infinitamente piccolo dell’energia potenziale del campo.

Consideriamo dapprima il caso delle forze elettriche; su una delle faccie dell’elemento $x.y.z$ normali all’asse $x$ starà una quantità d’elettricità positiva $f\,dy\,dz$: una deformazione elementare del sistema corrisponde ad un incremento $d\,\left(f\,dy\,dz\right)$ di tale quantità.

Quindi il lavoro per ciò che riguarda X è misurato da

$\mathrm {X} \,d\,\left(f\,dy\,dz\right)=\mathrm {X} \,dx\,dy\,dz\,df=\mathrm {X} \,df\,dv$.

Un calcolo analogo ripetuto per $\mathrm {Y}$ e $\mathrm {Z}$ ci porterebbe a conchiudere che le forze per quanto riguarda $dv$ compiono un lavoro

$\left(\mathrm {X} \,df+\mathrm {Y} \,dg+\mathrm {Z} \,dh\right)\,dv$;

il lavoro compiuto nell’intero campo è dunque:

$\iiint \left(\mathrm {X} \,df+\mathrm {Y} \,dg+\mathrm {Z} \,dh\right)\,dv.$

Ora, per le equazioni della polarizzazione dielettrica:

$df={\frac {\varepsilon }{4\pi }}\,d\mathrm {X}$

$dg={\frac {\varepsilon }{4\pi }}\,d\mathrm {Y}$

$hf={\frac {\varepsilon }{4\pi }}\,d\mathrm {Z}$

dunque il lavoro diventa

${\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,d\iiint \left(\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right)\,dv$;

e se si indica con $\mathrm {W_{e}}$ l’energia elettrica che il campo possiede si dovrà scrivere:

$d\mathrm {W_{e}} ={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,d\iiint \left(\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}\mathrm {Z} ^{2}\right)\,dv$;

o, integrando e osservando che $\mathrm {W_{e}}$ è nulla da principio:

$\mathrm {W_{e}} ={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,\iiint \left(\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right)\,dv$.

In modo affatto identico si troverebbe che l’energia magnetica, $\mathrm {W_{m}}$, che il sistema possiede è data da:

$\mathrm {W_{m}} ={\frac {\mu }{8\pi }}\,\iiint \left(\mathrm {L} ^{2}+\mathrm {M} ^{2}+\mathrm {N} ^{2}\right)\,dv$.

Un campo elettromagnetico contiene dunque una quantità d’energia elettromagnetica:

[1]	$\mathrm {W_{em}} =\mathrm {W_{e}} +\mathrm {W_{m}} ={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,\iiint {\boldsymbol {E}}^{2}\,dv+{\frac {\mu }{8\pi }}\iiint {\boldsymbol {M}}^{2}\,dv$.

La terza ipotesi della teoria del Maxwell consiste nell’ammettere che «l’energia elettromagnetica di un campo racchiuso da una superficie sulla quale le forze elettriche e magnetiche sono costantemente nulle è costante», cioè che in tale ipotesi

${\frac {\partial }{\partial t}}\mathrm {W_{em}} =0$.

In causa della [1] si dovrà scrivere:

${\frac {1}{4\pi }}\iiint \left[\varepsilon \left(\mathrm {X} {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}+\mathrm {Y} {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}+\mathrm {Z} {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial t}}\right)+\mu \left(\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}+\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}+\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}\right)\right]\,dv=0.$

Per mezzo delle [2] § 4 si possono eliminare ${\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}.{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}.{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial t}}$, e si ottiene:

${\frac {1}{4\pi }}\iiint \left\{{\frac {1}{\mathrm {A} }}\left[\mathrm {X} \left({\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}-{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}\right)+\mathrm {Y} \left({\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}\right)\right.\right.$

$\left.\left.+\mathrm {Z} \left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}\right)\right]+\mu \left(\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}+\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}+\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}\right)\right\}\,dv=0$.

Nella ipotesi enunciata innanzi questa equazione è equivalente all’altra: ${\frac {1}{4\pi }}\iiint \left[{\frac {1}{\mathrm {A} }}\left(\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}-\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial z}}+\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}}-\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}\right.\right.$

$\left.\left.+\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}}-\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}\right)+\mu \left(\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}+\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}+\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}\right)\right]\,dv=0.$

ossia:

${\frac {1}{4\pi \mathrm {A} }}\iiint \left[{\mathrm {L} }\left(\mathrm {A} \mu {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}}\right)+{\mathrm {M} }\left(\mathrm {A} \mu {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial z}}+{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}}\right)\right.$

$\left.+{\mathrm {N} }\left(\mathrm {A} \mu {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}\right)\right]\,dv=0.$

L’equazione si verifica se si ammette che sia:

[2]

${\begin{cases}\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}&=&{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}-{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}},\\\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}&=&{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial z}}-{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}},\\\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}&=&{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}-{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}};\end{cases}}$

e noi supporremo che sia così.

Le equazioni [2] § 4 e le [2] § 5 sono dovute ad Hertz².

Note

1. Un vero incremento (positivo) trattandosi di forze esterne
2. H. Hertz. Ueber die Beziehungen zwischen den Maxwellschen electrodynamischen Grundgleichungen und den Grundgleichungen der gegnerischen Elektrodynamik. (Wied. Ann. XXIII, p. 84).