La geometria non-euclidea/Capitolo V/Sulla indimostrabilità del postulato di Euclide
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SULLA INDIMOSTRABILTÀ DEL POSTULATO D'Euclide.
§ 94. Avanti di porre fine a questa esposizione storica, ci sembra utile dire qualche parola sulla indimostrabilità del postulato d'Euclide.
Il fatto stesso che gli innumerevoli tentativi fatti per la sua dimostrazione non condussero al risultato atteso, può far sorgere il dubbio ch'esso sia indimostrabile, giacchè l'istinto geometrico sembra attestarci che una proposizione così semplice, se è dimostrabile, debba esserlo per via di ragionamenti del pari semplici. Ma tale considerazione non può in verun modo tenersi in conto di una prova della indimostrabilità in questione.
Prescindendo dal postulato d'Euclide, per seguire gli sviluppi di Gauss, Lobacefski, Bolyai, si costruisce un edifizio geometrico, nel quale non s'incontrano contraddizioni logiche e che perciò appunto sembra attestare la possibilità logica dell'ipotesi non-euclidea, che è quanto dire l'indipendenza del postulato d'Euclide dai primi principi della geometria e quindi la sua indimostrabilità. Tuttavia il fatto che non si siano incontrate contraddizioni non basta ad assicurarci di ciò; occorre accertarci che, proseguendo negli indicati sviluppi mai tali contraddizioni potranno incontrarsi. Tale convinzione si può fare scaturire, in modo sicuro, dalla considerazione delle formule della trigonometria non-euclidea. Se infatti ci riferiamo al sistema di tutte le terne di numeri (x, y, z) e consideriamo convenzionalmente ogni terna come un punto analitico, possiamo definire la distanza di due punti analitici partendo dalle formule della suddetta trigonometria non-euclidea. Costruiamo così un sistema analitico, il quale, offrendo una convenzionale interpretazione della geometria non-euclidea, dimostra la possibilità logica di essa.
In questo senso le formule della trigonometria non-euclidea di Lobacefski-Bolyai danno la prova dell'indipendenza del postulato d'Euclide dai primi principii della geometria [relativi alla retta, al piano e alla congruenza].
Si può cercare una prova geometrica dell'indipendenza stessa riattaccandosi agli sviluppi ulteriori, di cui abbiamo fatto menzione. Per ciò conviene partire dal principio che i concetti costruiti dalla nostra intuizione, indipendentemente dalla rispondenza che essi trovano nel mondo esterno, sono a priori logicamente possibili, e così è logicamente possibile la geometria euclidea ed ogni serie di deduzioni su di essa fondata.
Ora, l'interpretazione che la geometria piana non-euclidea iperbolica riceve nella geometria sopra le superficie a curvatura costante negativa offre, fino ad un certo punto, una prima prova della indimostrabilità del postulato euclideo. Precisamente resta così stabilito che il postulato suddetto non può dimostrarsi fondandosi sui primi principi della geometria, validi in una regione limitata del piano. Infatti, ogni contraddizione logica che scaturisse dall'ipotesi opposta si tradurrebbe in una contraddizione nella geometria sopra le superficie a curvatura costante negativa.
Tuttavia, poichè il confronto tra il piano iperbolico e le superficie a curvatura negativa sussiste, come abbiam detto, soltanto per regioni limitate, non resta così escluso che il postulato euclideo possa dimostrarsi nel piano completo.
A togliere questo dubbio converrebbe riferirsi alla varietà astratta di curvatura costante, imperocchè non esiste alcuna superficie concreta dello spazio ordinario sulla quale valga la geometria iperbolica integrale [cfr. § 73].
Ma anche dopo di ciò l'indimostrabilità del postulato d'Euclide riuscirebbe provata soltanto nella geometria piana. Resterebbe dunque da discutere la possibilità di dimostrare il postulato stesso con considerazioni stereometriche.
La fondazione della geometria, secondo le vedute di RIEMANN, estendenti ad un campo a 3 dimensioni le idee della geometria sopra le superficie, offre la prova completa dell'indimostrabilità, basata sull' esistenza d'un sistema analitico non-euclideo. Si tratta dunque di un'altra prova analitica. Lo stesso può dirsi per gli sviluppi di HELMHOLTZ, LIE; ma questi ultimi offrono, si può dire, anche una prova geometrica, desunta dall'esistenza di gruppi di trasformazioni dello spazio euclideo, simili ai gruppi di movimenti della geometria non-euclidea. Beninteso bisogna qui aver riguardo alla considerazione della geometria nella sua interezza.
Più semplice e geometricamente luminosa, è la prova dell'indimostrabilità del postulato d'Euclide, desunta dalle metriche proiettive di Cayley.
Questa prova si riattacca alla rappresentazione della geometria non-euclidea con la metrica convenzionale relativa ad un cerchio o ad una sfera, interpretazione che abbiamo largamente sviluppato nel caso del piano [cfr. §§ 84-92].
Dalle anzidette metriche proiettive scaturisce pure e con altrettanta semplicità, la prova della possibilità logica dell'ipotesi ellittica di RIEMANN, per la quale, limitatamente al caso del piano, servirebbe ancora la interpretazione che ne abbiamo dato come geometria della stella [§ 71].
Elemente in die projective Geometrie.», Math. Ann., t. XXXIX, p 113-124, [1891]; BONOLA: «Sulla introduzione degli elementi improprii in geometria proiettiva.», Giornale di Matem. t. XXXVIII, p. 105-116 [1900].