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Prescindendo dal postulato d'Euclide, per seguire gli sviluppi di Gauss, Lobacefski, Bolyai, si costruisce un edifizio geometrico, nel quale non s'incontrano contraddizioni logiche e che perciò appunto sembra attestare la possibilità logica dell'ipotesi non-euclidea, che è quanto dire l'indipendenza del postulato d'Euclide dai primi principi della geometria e quindi la sua indimostrabilità. Tuttavia il fatto che non si siano incontrate contraddizioni non basta ad assicurarci di ciò; occorre accertarci che, proseguendo negli indicati sviluppi mai tali contraddizioni potranno incontrarsi. Tale convinzione si può fare scaturire, in modo sicuro, dalla considerazione delle formule della trigonometria non-euclidea. Se infatti ci riferiamo al sistema di tutte le terne di numeri (x, y, z) e consideriamo convenzionalmente ogni terna come un punto analitico, possiamo definire la distanza di due punti analitici partendo dalle formule della suddetta trigonometria non-euclidea. Costruiamo così un sistema analitico, il quale, offrendo una convenzionale interpretazione della geometria non-euclidea, dimostra la possibilità logica di essa.
In questo senso le formule della trigonometria non-euclidea di Lobacefski-Bolyai danno la prova dell'indipendenza del postulato d'Euclide dai primi principii della geometria [relativi alla retta, al piano e alla congruenza].
Si può cercare una prova geometrica dell'indipendenza stessa riattaccandosi agli sviluppi ulteriori, di cui abbiamo fatto menzione. Per ciò conviene partire dal principio che i concetti costruiti dalla nostra intuizione, indipendentemente dalla rispondenza che essi trovano nel mondo esterno, sono a priori logicamente possibili, e così è logicamente possibile la geometria euclidea ed ogni serie di deduzioni su di essa fondata.
Ora, l'interpretazione che la geometria piana non-euclidea iperbolica riceve nella geometria sopra le superficie a curvatura costante negativa offre, fino ad un certo punto, una
