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Sviluppata la geometria proiettiva si possono introdurre nello spazio le proprietà metriche aggiungendo ai postulati iniziali quelli che caratterizzano i movimenti o la congruenza. Così facendo si trova che una certa polarità dello spazio, legata ai concetti metrici, viene trasformata in se stessa da tutti i movimenti. Si dimostra poi che la quadrica fondamentale di questa polarità non può essere che:
a) una Quadrica reale non rigata,
b) una Quadrica immaginaria [ad equazione reale],
c) una Quadrica degenere come luogo.
Si ritrovano dunque, anche per questa via, I TRE SISTEMI GEOMETRICI, cui giunsero RIEMANN ed HELMHOLTZ partendo dal concetto di distanza elementare1.
SULLA INDIMOSTRABILTÀ DEL POSTULATO D'Euclide.
§ 94. Avanti di porre fine a questa esposizione storica, ci sembra utile dire qualche parola sulla indimostrabilità del postulato d'Euclide.
Il fatto stesso che gli innumerevoli tentativi fatti per la sua dimostrazione non condussero al risultato atteso, può far sorgere il dubbio ch'esso sia indimostrabile, giacchè l'istinto geometrico sembra attestarci che una proposizione così semplice, se è dimostrabile, debba esserlo per via di ragionamenti del pari semplici. Ma tale considerazione non può in verun modo tenersi in conto di una prova della indimostrabilità in questione.
- ↑ Per la deduzione di questo risultato vedi: BONOLA; «Determinazione per via geometrica dei tre tipi di spazio: iperbolico, parabolico, ellittico.»; Circolo Mat. Palermo, t. XV, p. 56-65,[1901].
mente in die projective Geometrie.», Math. Ann., t. XXXIX, p 113-124, [1891]; BONOLA: «Sulla introduzione degli elementi improprii in geometria proiettiva.», Giornale di Matem. t. XXXVIII, p. 105-116 [1900].
