La geometria non-euclidea/Capitolo IV/Ipotesi equivalenti al postulato euclideo
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IPOTESI EQUIVALENTI AL POSTULATO EuclideO.
§ 59. Prima di lasciare il campo elementare ci sembra opportuno richiamare l'attenzione del lettore sul valore che, nell'organismo della geometria, hanno talune proposizioni, che in un certo senso possono ritenersi come ipotesi equivalenti al V postulato.
Per intenderci chiaramente cominciamo col rilevare il significato di questa equivalenza.
Due ipotesi sono assolutamente equivalenti quando ciascuna di esse si deduce dall'altra senza il sussidio di alcuna nuova ipotesi. In questo senso sono assolutamente equivalenti le due ipotesi seguenti:
a) Due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro.
b) Per un punto fuori d'una retta passa una sola parallela a quella retta.
Questo genere di equivalenza non ha molto interesse, perchè le due ipotesi sono semplicemente due forme diverse d'una stessa proposizione. Vediamo piuttosto come il concetto di equivalenza possa generalizzarsi. Supponiamo che una teoria deduttiva sia fondata sopra un certo sistema di ipotesi, che denoteremo con {A, B, C,.... H}. Siano poi M ed N due nuove ipotesi tali che dal sistema {A, B, C,.... H, M} possa dedursi N, e dal sistema {A, B, C,.... H, N} possa dedursi M. Indicheremo ciò scrivendo {A, B, C,.... H, M}.unito a. N, {A, B, C,.... H, N}.unito a. M.
Allora, generalizzando il concetto di equivalenza, diremo che le due ipotesi M, N, sono equivalenti relativamente al sistema fondamentale {A, B, C,.... H}.
Insistiamo sull'importanza che il sistema fondamentale {A, B, C,.... H} ha in questa definizione. Infatti può accadere che restringendo il sistema fondamentale, tralasciando ad esempio l'ipotesi A, non siano contemporaneamente possibili le due deduzioni: {B, C,.... H, M}.unito a. M, {B, C,.... H, N}.unito a. N. Allora, rispetto al nuovo sistema fondamentale {B, C,.... H}, le due ipotesi M, N non sono equivalenti.
Dopo questi schiarimenti di ordine logico vediamo che cosa risulti dai precedenti sviluppi, circa l'equivalenza fra talune ipotesi e l'ipotesi euclidea.
Assumiamo in primo luogo come sistema fondamentale di ipotesi quello formato dai postulati di associazione [A] e di distribuzione [B], che caratterizzano nel modo ordinario i concetti di retta e piano; dai postulati della congruenza [C], dal postulato di Archimede [D].
Relativamente a questo sistema fondamentale, che indicheremo con {A, B, C, D}, le seguenti ipotesi sono fra loro equivalenti ed equivalenti a quella formulata da Euclide nel suo V postulato:
a) Gli angoli interni da una stessa parte, formati da due parallele con una trasversale sono supplementari [TOLOMEO].
b) Due rette parallele sono equidistanti.
c) Se una retta incontra una di due parallele incontra anche l'altra [PROCLO]; oppure: due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro; od anche: per un punto fuori d'una retta passa una sola parallela a quella retta.
d) D'un triangolo qualunque può sempre costruirsi un triangolo simile di grandezza arbitraria [Wallis].
e) Per tre punti non in linea retta passa sempre una sfera [W. Bolyai].
f) Per un punto situato fra i lati di un angolo passa sempre una retta che interseca i due lati dell'angolo [LORENZ].
alfa) Se due rette r, s, sono l'una perpendicolare e l'altra obbliqua alla trasversale AB, i segmenti di perpendicolare calati dai punti di s su r sono minori di AB, dalla banda da cui AB forma con s un angolo acuto [NASÎR EDDÎN].
beta) Il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta.
gamma) La somma degli angoli di un triangolo è uguale a due angoli retti [Saccheri].
Supponiamo ora di restringere il sistema fondamentale di ipotesi prescindendo dall'ipotesi archimedea. Allora le proposizioni a), b), c), d), e), f), anche rispetto al nuovo sistema fondamentale {A, B, C}, sono fra loro equivalenti ed equivalenti al V postulato di Euclide. Quanto alle proposizioni alfa), beta), gamma), pur essendo fra loro equivalenti rispetto al sistema {A, B, C}, nessuna è equivalente al postulato euclideo. Questo risultato, che mette in rilievo l'ufficio del postulato di ARCHIMEDE, è contenuto in una già citata memoria di M. DEHN [1900]1. In questa memoria viene dimostrato che l'ipotesi gamma) sulla somma degli angoli di un triangolo è compatibile non solo con l'ordinaria geometria elementare, ma anche con una nuova geometria, necessariamente non archimedea, dove non vale il V postulato ed in cui per un punto passano infinite non secanti rispetto ad una retta assegnata. A questa geometria l'autore diede il nome di Semi-Euklidische Geometrie.
- ↑ Cfr. nota (30).