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beta) Il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta.
gamma) La somma degli angoli di un triangolo è uguale a due angoli retti [Saccheri].
Supponiamo ora di restringere il sistema fondamentale di ipotesi prescindendo dall'ipotesi archimedea. Allora le proposizioni a), b), c), d), e), f), anche rispetto al nuovo sistema fondamentale {A, B, C}, sono fra loro equivalenti ed equivalenti al V postulato di Euclide. Quanto alle proposizioni alfa), beta), gamma), pur essendo fra loro equivalenti rispetto al sistema {A, B, C}, nessuna è equivalente al postulato euclideo. Questo risultato, che mette in rilievo l'ufficio del postulato di ARCHIMEDE, è contenuto in una già citata memoria di M. DEHN [1900]1. In questa memoria viene dimostrato che l'ipotesi gamma) sulla somma degli angoli di un triangolo è compatibile non solo con l'ordinaria geometria elementare, ma anche con una nuova geometria, necessariamente non archimedea, dove non vale il V postulato ed in cui per un punto passano infinite non secanti rispetto ad una retta assegnata. A questa geometria l'autore diede il nome di Semi-Euklidische Geometrie.
LA DIFFUSIONE DELLA GEOMETRIA NON-EuclideA.
§ 60. Le opere di Lobacefski e Bolyai non ebbero, al loro sorgere, quell'accoglienza che tanti secoli di lenta e continua preparazione sembravano promettere. Questo però non deve meravigliarci, perchè la storia della scienza c'insegna che ogni radicale mutamento nelle singole discipline non abbatte d'un tratto le convinzioni, i preconcetti su cui i pensatori e gli studiosi, attraverso un lungo periodo di tempo, edificarono le loro dottrine.
- ↑ Cfr. nota (30).
