La geometria non-euclidea/Capitolo III/Carlo Federico Gauss (1777-1855)
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CARLO FEDERICO Gauss [1777-1855].
§ 31. Venti secoli d'inutili sforzi e segnatamente le ultime infruttuose ricerche sul V postulato, indussero molti geometri, fiorenti sul principio del secolo scorso, nella convinzione che l'assetto definitivo della teoria delle parallele costituisse un problema irresolubile. La scuola di Gottinga, fin dal 1763, aveva ufficialmente dichiarato la necessità di rassegnarsi all'ipotesi Euclidea, e questa idea, espressa da Klügel nel suo «Conatuum» [cfr. § 22], fu condivisa e sostenuta dal suo maestro A. G. Kaestner, allora professore all'Università di Gottinga1.
Nondimeno, l'interesse pel nostro argomento fu sempre vivo e, pur non cessando di affaticare inutilmente i ricercatori della presunta dimostrazione del postulato, guidò finalmente alla scoperta di nuovi sistemi geometrici, i quali, fondati anch'essi sulla intuizione, si svolgono in un campo più vasto, astraendo dal principio contenuto nel postulato euclideo.
Tutta la difficoltà di entrare nel nuovo ordine di idee appare manifesto a chi, riportandosi a quel tempo, rifletta alla concezione allora dominante della filosofia kantiana.
§ 32. Fu Gauss il primo ad avere chiara la visione d'una geometria indipendente dal V postulato, visione che per ben cinquant'anni rimase chiusa nella mente del sommo geometra e che venne in luce soltanto dopo le opere di Lobacefski [1829-30] e G. Bolyai [1832].
I documenti che permettono una approssimata ricostruzione delle ricerche gaussiane sulle parallele sono la corrispondenza di Gauss con W. Bolyai, OLBERS, Schumacher, GerlinG, Taurinus, Bessel [1799-1844]; due piccole note nei «Gött. gelehrte Anzigen» [1816, 1822]; e alcuni appunti trovati fra le sue carte [1831]2.
Mettendo a confronto vari passi delle lettere di Gauss è possibile fissare come punto di partenza delle sue meditazioni l'anno 1792.
Il seguente brano di una lettera a W. Bolyai [17 dicembre 1799] prova che Gauss, come già Saccheri e Lambert, ha tentato di dimostrare il V postulato prendendo come ipotesi la sua falsità.
«Quanto a me, i miei lavori sono già molto avanzati; ma la via nella quale sono entrato non conduce al fine che si cerca, e che tu affermi avere raggiunto3, ma conduce piuttosto a mettere in dubbio l'esattezza della geometria.
«Sono, è vero, arrivato a parecchie cose, che dalla maggior parte degli uomini sarebbero ritenute come una valida dimostrazione, ma che, ai miei occhi, non provano, per così dire, NULLA; per esempio, se si potesse dimostrare l'esistenza possibile d'un triangolo rettilineo, la cui area fosse più grande d'ogni area data, allora sarei in grado di dimostrare con rigore perfetto tutta la geometria.
«Quasi tutti, è vero, vorrebbero dare a ciò il titolo di assioma, io no; potrebbe infatti accadere che, per quanto lontani fossero fra loro i vertici di un triangolo nello spazio, la sua area fosse non di meno sempre inferiore (infra) a un limite assegnato.»
Nel 1804, rispondendo a W. Bolyai in merito alla «Theoria Parallelarum», esprime poi la speranza che gli scogli, contro cui hanno cozzato le sue ricerche, finiscano per lasciargli libero il passo.
Da tutto questo i SS. Stäckel ed Engel, che raccolsero e documentarono la suddetta corrispondenza di Gauss, deducono che non per intuizione geniale il sommo geometra riconobbe l'esistenza d'una geometria non euclidea, logicamente inattaccabile, ma che dovè, al contrario, dedicarsi ad un lungo e faticoso lavoro, prima di vincere l'antico pregiudizio!
Conobbe Gauss, nel primo periodo delle sue ricerche, le opere di Saccheri e Lambert? Quale influenza esercitarono sulla sua attività? Il prof. Segre, nelle sue «Congetture» altrove citate [nota 41], nota che tanto Gauss, quanto W. Bolyai, durante il loro soggiorno a Gottinga [il primo dal 1795 al 98, il secondo dal 1796 al 99], si occuparono delle parallele. È quindi possibile ch'essi, per mezzo di Kaestner e Seyffer, entrambi conoscitori profondi di questo argomento, venissero a conoscenza dell'«Euclides ab omni naevo vindicatus.» e della «Theorie der Parallellinien.», ma i dati storici che si posseggono, senza infirmare questa congettura, non sono tali da avvalorarla pienamente.
§ 33. A questo primo periodo dell'opera gaussiana ne segue un secondo, dopo il 1813, illustrato principalmente da alcune lettere, una di Wachter [1816], altre dirette a Gerlin [1819], Taurinus [1824], Schumacher [1831], e dagli appunti ritrovati fra le carte di Gauss.
Tali documenti ci mostrano che Gauss, in questo secondo periodo, vinta ogni esitazione, procedè nello sviluppo dei teoremi fondamentali d'una nuova geometria, ch'egli chiama prima anti-euclidea [cfr. lettera di Wachter citata a § 30] poi geometria astrale [seguendo Schweikart, cfr. § 35], finalmente non-euclidea [cfr. lettera a Schumacher]. Giunse così ad acquistare la certezza che la geometria non-euclidea non ha in se stessa nulla di contradditorio, benchè a prima vista parecchi de' suoi risultati abbiano l'aria di paradossi [lettera a Schumacher, 12 giugno 1831].
Tuttavia Gauss nulla lasciò trapelare di queste idee, per la certezza di non essere compreso [temeva «das Geschrei der Böotier»; lettera a Bessel, 27 gennaio 1829]: solo ad alcuni provati amici confida qualche cosa delle sue ricerche e quando per necessità di cose è costretto di scrivere a Taurinus [1824], lo prega di conservare il silenzio sulle comunicazioni fattegli.
Gli appunti trovati fra i manoscritti di Gauss contengono un rapido cenno della nuova teoria delle parallele e dovevano fare parte di una progettata esposizione della geometria non-euclidea, a proposito della quale egli scriveva [maggio 1831] a Schumacher:
«Da qualche settimana ho cominciato a mettere per iscritto qualche risultato delle mie meditazioni su questo soggetto, che risalgono in parte a quarant'anni, e di cui non avevo mai nulla redatto, ciò che mi ha costretto tre o quattro volte a ricominciare tutto il lavoro nella mia testa. Non vorrei pertanto che tutto ciò perisse con me».
§ 34. Ecco come Gauss definisce le parallele. [vedi figura 32.png]
Se la retta AM, coplanare e non incidente a BN, è tale che ogni retta per A, compresa nell'angolo BAM, incontri la BN, allora AM si dice parallela a BN.
Si noti la differenza fra questa definizione e quella di Euclide. Infatti, prescindendo dal V postulato, per A potrebbero passare rette diverse da AM, non incidenti a BN, le quali sarebbero parallele a BN soltanto con l'antica definizione.
Nella definizione gaussiana il punto A sembra avere un ufficio speciale, ond'è necessario stabilire che la parallela AM 
è indipendente da A. Perciò Gauss dimostra che se A' è un punto qualunque di AM, la retta AM è parallela a BN anche attraverso il punto A'.
Dalla definizione di parallela non risulta poi evidente la reciprocità del parallelismo, vale a dire, che anche BN è parallela ad AM. Questa proprietà forma oggetto di un’altra elegante dimostrazione di Gauss.
Infine egli dimostra che due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro [transitività del parallelismo].
Qui bisogna osservare che Gauss si riferisce implicitamente al parallelismo in un dato verso. Infatti, la sua definizione di parallela considera i raggi uscenti da A e da una determinata banda della trasversale AB, ad es. a destra, cosicchè la retta AM dovrebbe dirsi la parallela a BN verso destra. La parallela a BN verso sinistra non è necessariamente AM, perchè il supporre ciò equivarrebbe a fare una ipotesi equivalente al postulato euclideo.
Ritornando alla proposizione sopra enunciata è chiaro che le due rette parallele ad una terza debbono supporsi parallele in uno stesso verso.
Finalmente Gauss pone il concetto di punti corrispondenti su due parallele AA', BB'. I punti A e B sono corrispondenti quando la retta AB forma con le due parallele angoli interni da una stessa parte uguali [Fig. 33].
Allora se CC' è una terza parallela, nel verso cui sono parallele le prime due, e se C è corrispondente di B, anche A e C sono corrispondenti. 
Benchè qui si arrestino gli appunti di Gauss, notiamo l'importante significato delle ultime considerazioni.
[vedi figura 34.png]
Il concetto di punti corrispondenti, trasportato al caso in cui le rette AA', BB', CC' appartengono ad un fascio 
[cioè passino per un punto], ci permette di definire la circonferenza come luogo dei punti corrispondenti d'un punto dato sulle rette di un fascio. Ma questo luogo può costruirsi anche quando le rette del fascio sono parallele. Nel caso euclideo si ottiene una retta; scartando l'ipotesi euclidea il luogo in discorso è una linea, che, pur avendo molte proprietà comuni con la circonferenza, non è una circonferenza. Anzi tre dei suoi punti non appartengono mai ad una circonferenza. Sifatta linea può concepirsi come limite d'una circonferenza, il cui raggio tenda all'infinito.
Gauss non proseguì la sua redazione perchè nel 1832 conobbe l'opera di GIOVANNI Bolyai, sulla geometria assoluta.
Da lettere anteriori e posteriori alla interrotta redazione, sappiamo ancora che Gauss aveva scoperto, nella sua geometria, una unità assoluta pei segmenti [cfr. Lambert, Legendre] e che nelle sue formule compariva una costante k, nota la quale si può risolvere qualunque problema [lettera a GerlinG].
Più precisamente nel 1831 [lettera a Schumacher] assegnava la lunghezza della circonferenza di raggio r sotto la forma:
A proposito di k egli dice che, ove si voglia mettere d'accordo la nuova geometria con l'esperienza, bisogna supporla infinitamente grande rispetto a tutte le grandezze misurabili.
Per k = infinito l'espressione gaussiana diventa l'ordinaria lunghezza della circonferenza4. Questa osservazione può estendersi a tutto il sistema scoperto da Gauss, sistema che, per k = infinito, contiene, come caso limite, quello di Euclide.
- ↑ Cfr. Stäckel ed Engel: «Th. der P.» p. 139-142.
- ↑ Cfr.: Gauss «Opere», t. VIII, p. 159-270.
- ↑ Si ricordi che W. Bolyai, a Gottinga, si occupava dell'argomento e credeva di avere superato l'ostacolo. Cfr. § 29.
- ↑ Per vederlo si sostituisca a ciascun'esponenziale lo sviluppo in serie. Allora avremo:
Passando al limite, per k = infinito, si ottiene: 2 pi greco r.
