La geometria non-euclidea/Capitolo III/Ferdinando Carlo Schweikart (1780-1859)
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FERDINANDO CARLO Schweikart [1780-1859].
§ 35. Contemporanee ed indipendenti da quelle di Gauss sono le ricerche del professore di giurisprudenza F. K. Schweikart1, che nel 1807 stampava «Die Theorie der Parallellinien, nebst Vorschlage ihrer Verbannung aus der Geometrie.». La quale, contrariamente a quanto lascia supporre il titolo, non contiene una trattazione indipendente dal V postulato, ma una trattazione basata sul concetto di parallelogramma.
In seguito però Schweikart, entrato in un nuovo ordine di idee, sviluppava una geometria indipendente dall'ipotesi di Euclide. A Marburg, nel dicembre del 1818, consegnava a GerlinG un foglio per Gauss, contenente le seguenti indicazioni.
[NOTIZIA]
«Esistono due tipi di geometria, — una geometria in senso ristretto — la euclidea; ed una geometria astrale [astralische Grössenlehre].
«I triangoli, in quest'ultima, hanno la particolarità che la somma dei loro tre angoli non è uguale a due angoli retti.
«Ciò posto, si può rigorosamente dimostrare:
«a) che la somma dei tre angoli di un triangolo è minore di due angoli retti;
«b) che questa somma è tanto più piccola quanto più grande è l'area del triangolo;
«c) che l'altezza di un triangolo rettangolo isoscele, pur crescendo col crescere dei lati, tuttavia non può superare un certo segmento, che io chiamo COSTANTE.
«Il quadrato, in conseguenza, ha la seguente forma:
«Se questa costante fosse per noi il semiasse terrestre (e in conseguenza di ciò ogni linea retta, tirata fra due stelle fisse che distano fra loro di 90°, sarebbe tangente alla sfera terrestre) essa sarebbe infinitamente grande, rispetto alle dimensioni che si presentano nella vita quotidiana.
«La geometria euclidea vale nell'ipotesi che la costante sia infinitamente grande. Solo allora è vero che la somma dei tre angoli d'ogni triangolo è uguale a due retti, e ciò si lascia dimostrare facilmente soltanto se si ammette per dato che la costante sia infinitamente grande.»2.
La geometria astrale di Schweikart e la non-euclidea di Gauss corrispondono pienamente al sistema di Saccheri e Lambert, nell'ip. ang. acuto. Anzi il contenuto della precedente notizia deriva immediatamente dalle proposizioni di Saccheri riportate nel «Conatuum» di Klügel e dal teorema di Lambert sull'area del triangolo. E poichè Schweikart, nella sua «Theorie» del 1807 cita le opere di questi due ultimi autori, così rimane accertata l'influenza diretta di {{Sc| di Lambert, indiretta [almeno] di Saccheri sulle ricerche di Schweikart3.
Nel marzo del 1819 Gauss, rispondendo a GerlinG in merito alla geometria astrale, loda Schweikart e dichiara di concordare in tutto quanto contiene il foglietto inviatogli. Aggiunge che egli ha svolto la geometria astrale in modo da poter risolvere qualsiasi questione, data che sia la costante di Schweikart. Termina assegnando il limite superiore dell'area d'un triangolo sotto la forma4:
Schweikart non pubblicò le sue ricerche.
- ↑ Studiò diritto all'università di Marburg e seguì dal 1796 al 1798 le lezioni di matematica tenute in quell'università dal prof. J. K. F. HAUFF, autore di vari scritti sulle parallele. Cfr. «Th. der P.», p. 243.
- ↑ Cfr. il t. VIII delle opere di Gauss, p. 180-81.
- ↑ Cfr. le «Congetture» di Segre, citate nella nota 41.
- ↑ La costante C che figura in questa espressione è la costante di Schweikart, non quella che Gauss denotò con k e a mezzo della quale espresse la lunghezza della circonferenza [cfr. § 34]. Le due costanti sono legate dalla seguente relazione:
