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periodo, vinta ogni esitazione, procedè nello sviluppo dei teoremi fondamentali d'una nuova geometria, ch'egli chiama prima anti-euclidea [cfr. lettera di Wachter citata a § 30] poi geometria astrale [seguendo Schweikart, cfr. § 35], finalmente non-euclidea [cfr. lettera a Schumacher]. Giunse così ad acquistare la certezza che la geometria non-euclidea non ha in se stessa nulla di contradditorio, benchè a prima vista parecchi de' suoi risultati abbiano l'aria di paradossi [lettera a Schumacher, 12 giugno 1831].
Tuttavia Gauss nulla lasciò trapelare di queste idee, per la certezza di non essere compreso [temeva «das Geschrei der Böotier»; lettera a Bessel, 27 gennaio 1829]: solo ad alcuni provati amici confida qualche cosa delle sue ricerche e quando per necessità di cose è costretto di scrivere a Taurinus [1824], lo prega di conservare il silenzio sulle comunicazioni fattegli.
Gli appunti trovati fra i manoscritti di Gauss contengono un rapido cenno della nuova teoria delle parallele e dovevano fare parte di una progettata esposizione della geometria non-euclidea, a proposito della quale egli scriveva [maggio 1831] a Schumacher:
«Da qualche settimana ho cominciato a mettere per iscritto qualche risultato delle mie meditazioni su questo soggetto, che risalgono in parte a quarant'anni, e di cui non avevo mai nulla redatto, ciò che mi ha costretto tre o quattro volte a ricominciare tutto il lavoro nella mia testa. Non vorrei pertanto che tutto ciò perisse con me».
§ 34. Ecco come Gauss definisce le parallele. [vedi figura 32.png]
Se la retta AM, coplanare e non incidente a BN, è tale che ogni retta per A, compresa nell'angolo BAM, incontri la BN, allora AM si dice parallela a BN.
Si noti la differenza fra questa definizione e quella di Euclide. Infatti, prescindendo dal V postulato, per A potrebbero passare rette diverse da AM, non incidenti a BN, le
