La fisica dei corpuscoli/Capitolo 4/6

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 4 - Le esperienze del Perrin

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

Capitolo 4 - Le esperienze del Perrin

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6. — Le esperienze del Perrin — Le ricerche del Perrin sono state guidate da questo concetto. È noto, specialmente per gli studi di van t'Hoff, che le leggi dei gas, quella di Avogadro, di Boyle e di Gay Lussac valgono anche per le soluzioni diluite, quando si consideri in queste la pressione osmotica, ossia quella esercitata dalle molecole della sostanza disciolta. E questa verifica delle leggi non dipende dalle dimensioni delle molecole, perchè valgono tanto per sostanze le cui molecole contengono anche un centinaio di atomi, come per quelle monoatomiche o biatomiche E allora dovranno anche valere per sostanze sospese in raggruppamenti di molecole, ossia nelle emulsioni, nelle quali i granuli divengono visibili. L’induzione a priori certo non è permessa, ma il pregiudizio può essere sufficiente per giustificare la ricerca sperimentale. E quando la risposta delle esperienze fosse positiva, è evidente che dai fenomeni che si verificano nei granuli visibili si può risalire alla conoscenza di grandezze o di fatti che per le molecole invisibili conoscevamo solo teoricamente, e che verrebbero così ad avere un fondamento sperimentale.

E questo è ciò che ha fatto il Perrin e con risultati che hanno un valore veramente dimostrativo.

La prima legge che egli ha sottoposto alla verifica sperimentale è stata quella di Laplace sulla distribuzione verticale delle molecole sottoposte contemporaneamente alla forza di gravità e alle forze dovute agli urti scambievoli. Consideriamo una colonna verticale nell’atmosfera, nella supposizione che la temperatura e le altre condizioni atmosferiche restino costanti in tutta l’altezza.

La densità dell’aria va diminuendo con l’altezza, e con la densità diminuisce la pressione. Prendiamo una colonna di sezione unitaria e chiamiamo $dp$ la variazione di pressione in uno stato di altezza $dh$ le cui sezioni estreme siano alla pressione $p$ e $p\,+\,dp$.È chiaro che l variazione $dp$ deve essere eguale al peso della massa di gas compresa in quello strato, ossia a $gdm$ se $dm$ è quella massa. Il valore di $dm$ si può determinare osservando che la densità del gas alla pressione $p$ è dato da ${\text{M}}/v$ quando con M si esprima la massa di una molecolagrammo e con $v$ il volume da essa occupato a quella pressione. Sicchè sarà

$dm\,=\,{\frac {\text{M}}{v}}\,dh$,

dove $dh$ è il volume dello strato che consideriamo. Avremo dunque per quanto si è detto

87)	$dp\,=\,g\,{\frac {\text{M}}{v}}\,dh$;

e poichè $pv={\text{RT}}$ potremo scrivere

${\frac {dp}{p}}\,=\,g\,{\frac {\text{M}}{\text{RT}}}\,dh$,

da cui integrando fra $p_{0}$ e $p$ corrispondenti alle altezze zero e h avremo

88)	$\log \,{\frac {p_{0}}{p}}\,=\,{\frac {{\text{M}}gh}{\text{RT}}}$,

e ne risulta per p la forma

89)	$p\,=\,p_{o}\,e^{-ch}$

in cui $c\,=\,{\frac {\text{Mg}}{\text{RT}}}$ è una costante.

Questa formula ci dice che se le altezze crescono come i termini di una progressione aritmetica, le pressioni diminuiscono in progressione geometrica. La rapidità della diminuzione di pressione in funzione dell’altezza è naturalmente tanto più grande quando più grande è la massa delle molecole, e quindi la densità del gas.

Il Perrin, invece che con un gas, ha sperimentato con una emulsione. Questa deve essere convenientemente preparata con una serie di setacciamenti e di separazioni per centrifugazione, in modo che contenga soltanto granuli di una determinata grandezza e presso a poco uguali. Preparata l’emulsione si può determinare in vari modi la densità e le dimensioni dei granuli che sono ben visibili al microscopio. Il Perrin riempiva di tale soluzione una piccola pozzetta di forma cilindrica, profonda 1/10 di millimetro e chiusa da un coprioggetto che ne rende piana la superficie posteriore.

I granuli, lasciati in riposo, prendono una distribuzione di equilibrio sotto l’effetto della forsa di gravità e dei moti browniani provocati dagli urti delle molecole. Con un buon microscopio si può mettere in fuoco ed anche fotografare la sezione del cilindro ad una profondità determinata.

Si ha così il modo di contare il numero di particelle distribuite a varie altezze e quindi la legge di rarefazione delle particelle in funzione dell’altezza, o, che è lo stesso, la legge di variazione della pressione osmotica con l’altezza.

Se la legge di Laplace vale anche in questo caso, la formola 88) si modifica così. Il rapporto $p_{0}/p$ si può sostituire con l’altro $n_{0}/n$ del numero delle particelle, la massa M di una grammomolecola darà qui data dal numero N di Avogadro moltiplicato per la massa di una particella. Questa a sua volta sarà data dal prodotto del volume della particella, che supporremo sferica, per la densità, osservando che si deve tener conto della densità efficace perchè le particelle sono immerse in un liquido. Quindi se $\delta$ è la densità del liquido e $\Delta$ quella propria dei granuli e $a$ il raggio di questi, la massa di un granulo sarà

90)	${\frac {4}{3}}\pi a^{3}(\Delta \,-\,\delta )$,

e la massa di una molecolagrammo di granuli sarà

${\text{N}}\,{\frac {4}{3}}\pi a^{3}(\Delta \,-\,\delta )$ .

Così la formola 88) si può scrivere

91)	${\text{RT}}\log {\frac {n_{0}}{n}}={\text{N}}\,{\frac {4}{3}}\pi a^{3}(\Delta \,-\,\delta )gh$ .

Ora il Perrin contava generalmente il numero dei granuli esistenti su quattro sezioni ad altezze diverse, alla distanza di $30\,\mu$ l’una dall’altra, e precisamente all’altezza di $35\,\mu$, $65\,\mu$, $95\,\mu$, e trovò costantemente che i numeri di granuli variavano secondo i termini di una progressione geometrica come per il caso delle molecole gassose.

Egli ha contato circa 13000 granuli e la distribuzione a quelle altezze dava numeri proporzionali a

100

47

22.6

12

I numeri teorici dati dalla progressione geometrica sarebbero

100

48

23

11.1,

mentre quelli in progressione aritmetica darebbero

100

71

42

13.

La concordanza è ottima. Si può dunque asserire che la legge di distribuzione dei gas nelle altezze vale anche per i granuli visibili sospesi in una soluzione.

Ma la 91) permette anche di determinare il numero N di Avogadro. Infatti nella formola tutte le grandezze sono misurabili, eccetto N, e si può ricavare

92)	${\text{N}}\,=\,{\frac {{\text{RT}}\,\log \,{\frac {n_{o}}{n}}}{{\frac {4}{3}}\,\pi a^{3}(\Delta \,-\,\delta )gh}}$ .

Era ben importante vedere se questa grandezza N assume qui lo stesso valore che nella teoria cinetica dei gas, e se si conserva costante per le varie specie di emulsioni.

Il Perrin eseguì perciò dieci serie di misure facendo variare da una serie all’altra le varie grandezze che compariscono nella 92). I valori così trovati per N coincidono pienamente con quelli dedotti dalla teoria cinetica, e oscillano, per le diverse serie, da un minimo di $50\,\times \,10^{22}$ ad un massimo di $75\,\times \,10^{22}$ con una media molto vicina al valore.

${\text{N}}\,=\,70\,\times \,10^{22}$ .

È importante il fatto che la distribuzione si mantiene costante, finchè non rimangono costanti le altre grandezze, per un tempo illimitato. Ciò è dovuto ai moti prodotti dagli urti scambievoli delle molecole.

Fra le serie studiate dal Perrin ve n’è una in cui la densità $\Delta -\delta$ è nagativa, i granuli sono più leggeri del solvente (glicerina). Anche per questa la distribuzione e il numero N concordano con la legge, soltanto è nella parte superiore che i granuli si addensano, invece che al basso.

L’influenza della temperatura è quella prevista, un abbassamento di temperatura avvicina i granuli, un inalzamento li allontana, ogni volta che si ritorna alla stessa temperatura si ritrova esattamente la stessa distribuzione.

Il raggio dei granuli era ordinariamente di qualche decimo di micron.