La Nova Scientia/Libro terzo/Propositione X

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Niccolò Tartaglia - La Nova Scientia (1558)

Libro terzo - Propositione X

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[p. 28^r modifica]

Propositione. X.

Voglio artificialmente misurare l’altezza duna cosa apparente, che non si poscia andare, ne ancor vedere la basa, over fondamento di quella, et tutto a un tempo voglio investigare la distantia ypothumissale, over diametrale di tal altezza, et ancora la distantia orizontale, cioè quella, che e dal mio occhio al ponto dove il pian del orizonte sega tal altezza, quantunque tal ponto non sia apparente, overamente quella, che e dalli miei piedi rettamente alla basa, over fondamento di tal altezza, quantunque tal basa, over fundamento me sia occulto.

S

Ia la cosa apparente .a. l’altezza di la quale (per la terza diffinitione di questo) è la perpendicolare tutta dalla vertice .a. alla basa, over piano terreo dove essa altezza se ripossa, ilqual piano pongo sia quello perfetto piano che si istende (se non in atto almen in mente) dal luoco dove me ritrovo equidistantemente al pian del orizonte, ilqual piano pongo che una parte ne sia il spacio dove se istende la linea .d r. et parte della detta altezza, sia la linea .a s. il fondamento di laqual altezza verria a esser drento della globosita terrea .t .cioè dove concorrartano insieme le due linee .d r. et a s. essendo protratte con la mente penetrante la detta globosita .t. il qual concorso pongo che sia (si come nella passata) il ponto .b. il qual ponto .b. non è apparente per causa della detta globosita terrea .t. hor dico che voglio artificialmente con lo aspetto misurare la detta altezza .a b. (quantunque non si posta andare ne approssimare alla basa, over fondamento di qella, cioè al ponto .b.) et tutto a un tempo voglio ritruovare la distantia ypothumissale, over diametrale di tal altezza, et similmete la distantia orizontale cioè quella, che è dal mio occhio al punto dove il piano del orizonte sega tal altezza quantunque tal ponto non sia apparente per causa della globosita .t. overamente quella che è dalli miei piedi per retta linea al fondamento di tal altezza (cioè al ponto .b. quantunque al ponto .b. ne sia occulto per causa della [p. 28^v modifica]detta globosita. Piglio il mio istromento in mano over che lo affermo in qualche cosa stabili talmente che si possa girare da basso in alto, da poi mi affermo in qualche loco che sia più perfetto piano che sia possibile e procedo con il detto mio istromento si come nella precedente, cioè apposto un ponto in la detta cosa apparente qual sia la vertice .a. et quella cerco di vedere per li dui forami del mio istromento fatto questo considero sutilmente sopra qual lato, over ombra cade il perpendicolo del detto istromento, ilquale sel cade (come frequentemente interviene in tal sorte di misurationi) sopra il lato della ombra versa, vedo quanti ponti taglia il detto perpendicolo, et per quel numero de ponti io parto .12. et dapoi servo il numero quotiente essempi gratia se il detto perpendicolo cade sopra alli 2. ponti, il numero quotiente vien a esser 6. ilqual servo da parte, dapoi segno il loco nel qual son stato et poi mi tiro alquanto (rettamente) in drio, over che vado alquanto piu inanti del detto loco et un altra volta in la seconda statione cerco da novo da vedere la detta summita, over vertice .a per li detti forami del detto mio istromento, et dapoi guardo diligentemente sopra quanti ponti della detta ombra versa cade il detto perpendicolo, per ilqual numero de ponti di novo parto pur 12. et il numero quotiente che me viene, lo sotro, del primo quotiente che fu servato (se quel è menore) over al contrario se quel è maggiore, et servo tal eccesso, essempi gratia se in la seconda statione il perpendicolo cadesse sopra alli 6. ponti della detta ombra divido 12. per il detto 6. me viene per numero quotiente .2. ilqual 2. sottro da l’altro numero quotiente servato che fu .6. lo eccesso dil qual sotramento è 4. ilqual eccesso servo da banda dapoi misuro il spatio, che è fra la prima, et seconda statione (con che misura mi piace) et il numero di quelle misure divido per il numero dello eccesso di sopra servato, cioè per 4 rt a quello che vienegli agiongo la perpendicolare del mio occhio a terra, et tal summa conchiudo che sia l’altezza della detta cosa apparente. Essempi gratia sel numero delle misure del detto spatio fusse passa 156. divido il detto .156. per .4. ne viene passa .39. et a questo 39. li agiongo la perpendicolar del mio occhio a terra (qual pongo sia passa .2.) fa passa 41. et tanto conchiudo che sia la detta altezza a b. Ma per esser questa propositione alquanto più difficile delle altre la voglio ressemplificare un’altra volta, et variatamente del sopra datto essempio hor poniamo di novo che nella prima statione (qual pongo sia dove il ponto .c.) il perpendicolo del mio istrometo mi cada sopra il decimo ponto della ombra versa (come di sotto appar in disegno) et in la seconda statione (quala pongo sia quella dove il ponto .u.) mi cada sopra lo ottavo ponto della detta ombra versa (come di sotto appar in figura) et che dal ponto .c. al ponto .u. sia piedi .285. et che dal occhio mio a terra (cioè dal ponto .e. al ponto .c.) over dal ponto .x. al ponto .u. sia piedi 4. parto .12. (cioè le 12. divisione de cadauna ombra) per 10. cioè per li .x. ponti che sega il perpendicolo nella prima statione ne vien .1 ${1 \over 3}$ qual servo, poi parto similmente il medemo. 12. per. 8. (cioè per li ponti che sega il detto perpendicolo nella seconda statione (ne vien 1 ${1 \over 2}$ et da questo .1 ${1 \over 2}$ ne sotro quel 1 ${1 \over 3}$ che fu servato, resta ${1 \over 3}$ et per questo ${3 \over 10}$ parto 285. (cioè la quantità di piedi che è dal ponto c. al ponto .u.) ne vien .950. et a questo .950. gli agiongo .4. (cioè gli piedi .4 che havemo supposto che sia dal ponto .e. al ponto .c. over al ponto .10. al [p. 29^r modifica]ponto .u.) fara in suma .954. piedi .954. conchiudo che sia l’altezza della cosa apparente .a. cioè la linea che è dal ponto .a. al ponto .b. (occulto drento dalla globosita .t.) Et per dimostrar questo dal occhio dalla .2. statione) cioè dal ponto .x. (al occhio della .1. cioè al ponto .e. (duco la linea .y e. et quella produco con la mente fin a tanto che la concorra con la linea .a b. drento della globosita .t. in ponto .f. (si come nella passata) ilqual ponto .f. per esser occulto al occhio corporale lo consideraro con locchio

mentale, et perche il triangolo .a e.f (per le ragioni assignate nella precedente) è simile al triangolo .l p q.(della prima statione) e tal proportione qual ha la linea over lato .a f alla linea, over lato .e f. tal ha il lato .p q. al lato .q.l. onde (per la decimaterza, et vigesimaprima diffinitione del .7. di Euclide) tante volte quanto misurara, over intrara il lato .p q. in lo lato .q l. tante volte misurara, over intrara il lato .a f. in lo lato .e f. et perche il lato .p q. è ponti .10. et lo lato .l q. ne è 12. (dal presupposito) adonque il lato .p q. intrara .1 ${1 \over 3}$ in lo lato .l q. Seguita adonque che il lato .a f. intra .1 ${1 \over 3}$ in lo lato .e f. si che se ben io non ho alcuna notitia quanto sia il lato .a f. ne ancora il lato .e f. Io son certo almen di questo che lo detto lato .a f. intra come ho detto . ${1 \over 3}$ in lo detto lato .e f. et questo servo da parte, et mi volto alla seconda statione e per le medeme ragioni trovo che lo triangolo .x f a. pur simile al [p. 29^v modifica]triangolo .l p q. della detta seconda statione, et che tante volte quanto intra il lato p q. (che è ponti .8.) in lo lato .l q. (che è ponti 12.) tanto intrara il lato .a f. in lo lato .x f. et perche il lato .p q. (cioè ponti .8.) intra .1 ${1 \over 2}$ in lo lato .l q. (cioè in ponti .12. adonque il lato .a f. intrara similmente .1 ${1 \over 2}$ in lo lato .x f. onde sotrando il lato .e f. del lato .x f. (cioè. 1 ${1 \over 3}$ de. 1 ${1 \over 2}$ ) restara ${3 \over 10}$ per la differentia .e x. siche la detta differentia .e x. verria a esser li ${3 \over 10}$ della detta linea .a f. et perche la detta differentia e x. è tanto quanto la linea .u c. (per la trigesimaquarta del primo di Euclide) et la detta linea .u c. é supposita esser piedi. 285. seguita adonque; che questi piedi 285. siano li ${3 \over 10}$ . della detta linea .a f. per il che tutta la linea .a f. verria a esser pièdi .950. (come che anchora di sopra fu determinato) giontovi adonque li piedi .4. (che è supposto esser la linea .e c. over .x u.) farà piedi .954. et piedi 954. dirò che sia tutta la altezza .a b. perche .f b. vien a esser similmente piedi 4. che è il primo proposito. Et perche si come lo lato .p q. (della prima statione) al lato over ypothumissa .l p. cosi è il lato .a f. al lato over ypothumissa .a e. et perche il lato .p q. al lato, over ypothumissa .l p. (per la penultima del primo di Euclide) è come .10. alla radice quadrata di .244. onde multiplico piedi. 950. fia la detta radice. 244. et quella multiplicatione parto per 10. me ne viene poco meno de .1484. et piedi 1484. (over poco meno) conchiudo esser la linea, ovuer ypothumissa .a e. che è il secondo proposito. Et perche il lato .e f. è quanto il lato a f. et un quinto de piu (come di sopra provai) per il che piglio il quinto del lato a f. (cioè de piedi. 950.) che sono piedi .190. et li sumo con li detti piedi. 950. fano piedi. 1140. et tanto conchiudo esser la distantia orizontale, cioè la linea .e f. over la linea .c b. che è il terzo proposito. Et per li medemi modi, e vie procederia nella seconda statione quando desiderasse di sapere la quantità della ypothumissa .x a. over della distantia orizontale .x f. vero è, che per altre vie più facile io potria trovar le dette distantie ypothumissale et similmente tutte le altre comensurationi, le qual vie sariano molto al proposito per quelli che non sano radicare ne pratica de numeri, ma per esser difficile a dicchiarirle in scrittura, le lasso. Bisogna notare per queste sorte de operationi dove si procede con due positioni chela perpendicolare del mio occhio a terra nella più propinqua statione sarà alquanto menore di quella della statione più lontana et massime essendo il detto istromento fisso in qualche cosa stabile et quantunque tal differentia sia poca cosa, nondimeno alle volte può causar non poco errore, et per tanto essorto a fondarse nella perpendicolare, che sarà da quel pironcino dove sta attacato il piombino per insino a terra si in l’una come in l’altra statione, il qual pironcino vien a esser il centro di tal istromento, et congignando il detto istromento girabile in qualche cosa che stia in piedi, come sono li lucernari, el si debbe congegnare da altra banda di tal istromento un pirone fermo a dirimpeto del pironcino del piombino, talmente che tal istromento venghi a girare sopra il suo centro, perche girando sopra altro ponto, sempre vi correrà alquanto di errore nella conclusione. Hor per ritornar al nostro proposito, se per sorte io fusse pur tanto appresso della detta altezza, che il perpendicolo mi cascasse sopra la ombra retta vederò medesimamente quanti ponti gli harà il detto perpendicolo di detta ombra retta, et procederò al contrario del precedente modo, cioè io partirò li detti ponti tagliati dal detto perpendicolo, per .12. del qual partimento [p. 30^r modifica]necessariamente ne venirà sempre un rotto; el qual rotto servarò da banda, et dapò segnarò il loco nel qual sarò stato, et dapoi me tirarò alquanto rettamente in drio, over che andarò alquanto piu inanti del detto luoco, (come fu fatto nell’altra sopradetta operatione) et un’altra volta in la seconda statione cercarò di novo di veder la detta sommità, over vertice .a. per li detti forammi del detto istromento, et dapoi guardare diligentemente sopra quanti ponti della detta ombra retta caderà il detto perpendicolo, li quali ponti di novo li partirò per .12. del qual partimento necessariamente me ne venirà un rotto, et questo tal rotto lo cavarò da quell’altro primo che fu servato da banda (essendo però menar di quello,) overamente cavarò quel primo da questo secondo, essendo maggiore, et questo restante servarò da banda, dapoi misurarò il spacio, che è fra la prima, et seconda statione, con che misura me parerà, et il numero di queste tal misure partirò per quel mio restante (servato da banda) et a quello avenimento gli aggiongo la perpendicolare, che sarà dal centro del mio istromento à terra (cioè da quel ponto dove sta attacato il perpendicolo) et tal summa conchiuderò che sia l’altezza della detta cosa apparente. Essempigratia, se nella prima positione, over statione, il perpendicolo, over piombino mi cascasse sopra lo terzo ponto della ombra retta, io parteria li detti .3. ponti per .12. (lato del quadro) et me ne veneria ${1 \over 4}$ . et questo ${1 \over 4}$ . servaria da banda, et dapoi segnarò il luoco dove son stato, cioè farò un segno nel detto piano rettamente sotto dove cade il piombino del istromento. Dapoi me tiraria alquanto in drio, et un’altra volta in questo secondo luoco cercaria la detta sumità, over vertice .a. per lo trasguardo del detto istromento et dapoi guardarla sopra a quanti ponti della detta ombra retta caderia el detto mio piombino, et se per caso quel cascasse sopra il 4. ponto, io partiria il detto 4. per 12. et me ne veneria ${1 \over 3}$ . et cosi di questo ${1 \over 3}$ . ne cavaria quel che da prima fu salvato, et me ne restaria ${1 \over 12}$ . Dapoi misuraria diligentemente il spacio che sarà frà la prima et seconda statione, cioè da quel ponto signato nel piano nel luoco dove risguardava il ponto piombino nella prima operatione, a quello dove che risguardarà nella seconda, qual spacio pongo per essempio che fusse passa .8. io partiria questi passa .8. per quel ${1 \over 12}$ . et me ne veneria .96. et à questo .96. gli aggiongerò quanto sarà dal pironcino del detto mio istromento per fin in terra, qual pongo che ve sia .1. passo g iongeria alli detti passa .96. quel passo .1. et farà .97. passa. et passa 97. conchiuderia che fusse la detta altezza a b. Et la verità di questa tal propositione se dimostra per li medesimi modi, e vie che fu fatto della prima parte, cioè per la similitudine di triangoli, et delli suoi lati proportionali.

In queste sorte de comensurationi dove bisogna operare con due positioni, over in dui colpi, egliè necessario a esser molto diligente in questo, che quella cosa dove sarà consigliato il nostro istromento girabile stia talmente perpendicolare nel secondo luoco come che staseva precisamente nel primo, perche non stasendo cosi precise non poco errore causarebbe, et questo si può conoscere con el piombino medesimo del nostro istromento, over con un’altro assettato in quella tal cosa