La Nova Scientia/Libro terzo/Propositione IX

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Niccolò Tartaglia - La Nova Scientia (1558)

Libro terzo - Propositione IX

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Propositione. IX.

Senza mutarme dal luoco dove me ritrovo voglio comprehendere l’altezza de una cosa apparente, che si posci andare alla basa, over fondamento di quella, et tutto a un tempo voglio investigare la distantia ypothumissale, over diametrale di tal altezza.

S

Ia l’altezza .a b. della cosa apparente .a. ellevata et costituta sopra il piano terreo .b d. talmente che poscia andare (come nella passata) alla basa, over fondamento di quella (cioè al ponto .b.) Dico che voglio comprehendere la detta altezza .b. (senza movermi dal luoco dove me ritrovo et tutto a un tempo [p. 25^v modifica]voglio investigare la distantia ypothumissale, over diametrale di tal altezza. Piglio il mio istromento in mano over che lo affermo in qualche cosa si stabile, et livello il piano .b d. et vedo se glie perfetto piano (procedendo, come nella settima propositione fu fatto) et se lo trovo perfetto piano, mi apposto un ponto in la detta cosa apparente qual sia la vertice .a. et quella cerco di vedere per li dui forami .n m. del mio istromento, senza movermi dal luoco dove mi ritrovo, ma torzando, over voltando il detto istrometo fin a tanto che veda per li detti dui forami la detta vertice .a. fatto questo guardo diligentemente donde cade il perpedicolo del detto mio istromento, et se quel cadera per caso, come nella precedente (cioè sopra la linea de l’ombra media) conchiudero (si come fu fatto in la detta precedente) ma se quel cadera sopra il lato de l’ombra retta me dinotara l’altezza .a b. esser maggior del spacio che è dalli mei pedi alla basa, over alla radice della detta altezza, cioè al ponto .b.in tal proportione qual havera .12. (cioè il lato del quadro) al numero di .ponti della ombra retta, dove cade il detto perpendicolo, giontovi la perpendicolare del mio occhio a terra (come ancora nella precedente fu fatto) et questa cosa in la pratica de numeri conchiudero cosi, multiplicaro il numero di passa (over altra misura) che è dalli mei pedi al ponto .b p. 12. et quella multiplicatione partiro per il numero di ponti de l’ombra retta d’onde cade il perpendicolo del mio istromento et a quello che venira al detto partimento, gli agiongero la quantita della perpendicolare del mio occhio a terra, essempi gratia, poniamo che il perpendicolo del mio istromento mi cada sopra il nono ponto della ombra retta come disotto appare in figura et pono che dal ponto .c. sia passa 236. et che dal mio occhio a terra, cioè dal ponto .e. al ponto .c. sia passa .2. multiplicaro li detti passa .256. per 12.(cioè per li dodeci ponti, over divisioni del lato del quadro, over de cadauna ombra (fara.3072. et questo 3072 partiro per .9.(cioè pe il numero di ponti de l’ombra retta dove cade il piombino over perpendicolo nel mio istromento) ne venira .341. ${1 \over 3}$ et a questo .341 ${1 \over 2}$ .g.i agiongero passa .2. (cioè la quantita de .e c. (fara .343. ${1 \over 2}$ e passa .343 ${1 \over 3}$ . conchiudero che sta la detta altezza .a b. Perche dal occhio mio (cioè dal ponto .e.) duco (si come nella precedente) la linea .e f. equidistante al piano, over linea .c b. et produco il perpendicolo del mio istrometo fin a tanto) che quel concorra con la linea visuale .e a. in ponto .h. etprosduco similmente lo lato della ombra retta (cioè la linea partial .g i.) fin a tato che concorra ancora lei con la detta linea visuale .e a in ponto .k. causando il triangolo .g k h. et perche l’angolo .g k h. è eguale (per la terza petitione del 1. di Euclide) a l’angolo .e f a. (perche l’uno e l ${1 \over 2}$ altro per retto) et similmente l’angolo k h g. è eguale (per la seconda parte della .26. del primo di Euclide) a l’angolo .e a f. onde (per la seconda parte della trigesimaseconda del 1.di Euclide ) l’angolo. k g h. verria a restar eguale a l’angolo .e f per la qual cosa il triangolo .g k h. verria a essere equiangolo al triangolo .e a f. et consequentemente simile, et de lati proportionali (per la quarta del sesto di Euclide) et perche il triangolo .g i l. (per La seconda del sesto di Euclide) vien a esser simile al triangolo .g k h. Adonque il detto triangolo .g i l. (per la vigesima del sesto di Euclide) vien a esser simile al medemo triangolo .e a f. e consequentemente de lati proportionali, per il che tal proportione ha il lato .e f. al lato .f a.qual ha il lato .g i. al lato .i l. et perche il lato. g i. [p. 26^r modifica]

al lato .l i. è come .9. a .12. (cioè come è li ponti, over divisioni della parte .g i. (della ombra retta) a tutto il lato .i l. del quadrato, ilqual lato .i l. viene a esser tanto quanto le .12. divisioni, over ponti di tutta la ombra retto) e pero volendo trovar la quantita de .a f. (occulta) mediante la notitia de .e f. (elqual è supposto esser passa .256.) per la evidetia della vigesima del settimo di Euclide multiplico li detti passa .256. per 12. fa .3072. et questo .3072. partisco per .9. ne vien 341 ${3 \over 1}$ (come ancora in principio fu fatto) et tanto diro che sia la partial altera .a f. et perche il residuo .f b. di tal altezza è eguale (per la trigesimaquarta del 1. di Euclide) alla linea .e c.(la quale è supposta esser passa .2.) giongo li detti passa .2. alli detti passa .341 ${1 \over 3}$ faranno passa .343 ${1 \over 3}$ tanto conchiudero che sia tutta la altezza .a b. si come ancora in principio fu fatto, che il primo proposito. Et perche si come é il lato .g i. al lato, over ypothumissa .g h. cosi é il lato .e f. al lato, over ypothumissa .e a. et perche il lato .g i. al lato, over ypothumissa .g h. (per la penultima del primo di Euclide (come .9. alla radice quadrata de .225. è .15 onde per trovar lo lato, overypothumissa .e a. (occulta) (per la evidentia della vigesima del settimo di Euclide) multiplico .15. fia la quantita di .e f. (laquale e supposta esser passa .256.) fa .3840. et questo .3840. partisco per .9. ne vien [p. 26^v modifica]e passa .426 ${2 \over 3}$ diro che sia la distantia ypothumissale, over diametrale .a e. che è il secondo proposito. Ancora per la penultima del 1. di Euclide. Io potea trovar la detta ypothumissa .e a. multiplicando il lato .e f. in se che saria .65536. ancora il lato .f a. in se che faria .116508 ${4 \over 9}$ et questi dui quadrati gionti insieme fariano .182044 ${4 \over 9}$ di questa summa pigliandone la radice quadrata la qual saria pur .426 ${2 \over 3}$ si come per l’altra via fu trovato e tanto diria che fusse la detta distantia ypothumissale .e a. che saria pur il medemo secondo proposito. Ma se per caso il piano terreo .b d. non fusse perfetto piano (come la maggior parte delle volte accade) procederò si come nella precedente livelando, et misurando con industria la linea .e f. et poi procedero si, come disopra è stato fatto eccetto che in luoco della linea .e c. gli agiongero la quantita .f b. o sia piu, over meno de passa 2. et cosi conchiudero il proposito. Et se per caso il perpendicolo del mio stromento non mi cascasse sopra integral ponto, over divisione, essempi grati sel me cascasse sopra al nono ponto è mezzo del decimo, cioè a ponti 9 ${2 \over 1}$ over a 9 ${1 \over 3}$ procederia pur si come disopra è stato fatto multiplicando la detta distantia cioè li passa .256. per 12 et tal multiplicatione partiria per 9 ${1 \over 2}$ over 9 ${1 \over 3}$ et a quello che venisse gli agiongerei la perpendicolar del mio occhio, over la quantita .f b. get tanto quanto fusse tal suma, tanto conchiuderei che fusse la altezza .a b. et cosi mi governarei in ogni altro rotto de ponto, over divisione, che è il proposito. E pero per fuggir li rotti laudo a dover divider ciascaduno di 12 .et 12. ponti in altre 12 parti (come fu detto nella costrution dello detto istrumento) liquali si chiamano minuti per ilche cadauna ombra veria a esser divisa in 144. minuti.

M

A se il perpendicolo del mio istromento cascara sopra il lato della ombra versa, all’hora me dinotara che il spacio che sara fra me et la basa della altezza, con la perpendicolar del mio occhio, over con la linea .f b. esser maggiore della altezza della cosa apparente, in tal proportione qual è .12. al numero di ponti della ombra versa dove cade il perpendicolo del mio istrumento et tal cosa in la pratica de numeri conchiudero in questo modo multiplicaro il numero di passa (over altra misura) che è per retta linea delli mei pedi alla basa di tal altezza (over dal mio occhio al ponto dove che il pian del orizonte sega quella) per li ponti over minuti di l’ombra versa (dove cade il piombino del mio istromento) e quella multiplicatione partiro per 12. over per 144. et a quello che venira gli giongero la quantita della perpendicolare del mio occhio a terra (essendo in perfetto piano) over la quantita, che sara dal poto dove sega quella il pian del orizonte a terra e tanto quanto sara tal suma tanto conchiudero che sia la detta altezza, essempi gratia poniamo che il perpendicolo del mio istrometo mi cada sopra il decimo ponto della ombra verso, come di sotto appar in disegno, et pono che dal ponto .c. al ponto .b. over dal ponto .e, al ponto .f. sia passa 350. et che dal mio occhio over dal ponto .f. a terra sia passa 2. multiplicaro gli detti passa 350. per 10. (cioè per li ponti de l’ombra versa dove cada il perpendicolo (fara 3500. et questo 3500. partiro per 12. (cioè per le 12. divisioni, over ponti de cadauna ombra, over del lato dil quadro) ne venira 291 ${2 \over 3}$ et a questo 291 ${2 \over 3}$ gli giongero .2. (cioè li passa che havemo supposto che sia dal ponto .e. al poto c. over dal ponto .f. al ponto .b.) fara .293 ${2 \over 1}$ et passa .293 ${2 \over 3}$ conchiudero che sia la detta altezza [p. 27^r modifica]

a b. che dal ochio mio (cioè dal ponto .e.) duco pur (si come nella precedente) la linea .e f. equidistante al piano, over linea .c b. (essendo perfetto piano il spacio terreo .c b.) over la duco secondo l’ordine del piano del orizonte, cioè perpendicolarmente sopra la linea .a b. in ponto .f. ancor produco il lato della ombra retta (cioè la linea .io fina a tanto che concorra con il perpendicolo in ponto .g. causando il triangolo .i l g. iqual triangolo .i l g. (perle medeme ragioni et argumenti adutti nella demostratione della precedente) vien a esser simile al triangolo .e a f. et perche il triangoletto .g o p. (per la prima parte della seconda del sesto di Euclide) vien a esser simile al detto triangolo .g i l. onde (per la vigesima del sesto di Euclide) il detto triangoletto .g o p. vien a esser simile al triangolo .e a f. et perche l’angolo .l p q. (del triangolo .l p q.) è eguale (per la.15. del 1. di Euclide) a l’angolo .o p g. (del triangoletto .o p g.) et l’angolo .l q p. del detto triangolo .l q p è eguale (per la 3. petitione del 1. di Euclide) a l’angolo .p o g. (del detto triangoletto p o g.) perche l’uno e l’altro è retto onde (per la seconda parte della trigesima seconda del primo di Euclide) l’altro angolo .p l q. (del detto triangolo .p.l.q,) verria a esser eguale a l’altro angolo .o g p. del detto triangoletto .o g p. per [p. 27^v modifica]ilche il detto triangolo .l p q. verria a esser eguale a l’altro angolo .o g p. del detto triangoletto .o g p. per ilche il detto triangolo ,l p q. verria a esser equiangolo e consequentmente simile, et de lati proportionali al detto triangoletto .o p g, et perche il triangolo .e f a. è similmente simile al detto triangoletto .o p g. Seguita (per la vigestma del sesto di Euclide) che è il detto triangolo .l p q. è simile al detto triangolo .e a f. e consequentemente li lati (continenti, over riguardanti eguali angoli) proportionali (per la quarta del sesto di Euclide) per ilche tal proportione è dal lato .l q. al lato .q p. quale dal lato .e f. al lato .a f. et perche la proportione del lato .l q. al lato .q p. e si come da 12. a .10 (perche il lato .l q. vien a esser tanto quanto e tutto il lato de cadauna ombra, cioè 12. ponti, over divisioni delle quale divisioni, over ponti il lato .p q. ne e .10.) (dal presupposito) onde per trovare la quantita de .a f. (incognita) mediante la notitia de .e f.(el quale e supposlo esser passa 350.) con la evidentia della vigesima del settimo di Euclide multiplico passa .350 per 10. (cioè per il lato .p q.) fa .3500. e questo .3500. partisco per 12. (come che ancora in principio fu fatto) (cioè per il lato .l q.) mene vien pur. 291. ${2 \over 3}$ . (come prima) et tanto diro, che sia la partial altezza .a f. et perche il residuo .f b. è supposto esser passa .2. agiongo li detti passa .2. alla quantità .a f. (cioè a. 291 ${2 \over 3}$ fa .293 ${2 \over 3}$ et passa .293 ${2 \over 3}$ conchiuderò che sia la total altezza .a b. si come in principio fu fatto che è pur il primo proposito. Io posso ancora per un altro modo trovar la detta altezza .a b. fondadomi sopra il triangolo .l i g. el qual so che e simile al triangolo .a e f. et tal proportione qual ha il lato .i l g. al lato .l. tal ha il lato e f. al lato .a f. ma perche il lato .i g. me è incognito (cioè li ponti de l’ombra retta i g.) cerco prima di saper quanto sia il detto lato .i g. et lo ritrovaro in questo modo perche so che il triangolo .l p q. e simile al detto triangoto .l i g. tal proportione e dal lato .l i. al lato .i g. qual e dal lato .p q. al lato .l q. (cioè come da 10. a 12. e pero multiplicaro il lato .l q.(per la evidentia della vigesima del settimo di Euclide) sia il lato .l i. (cioè .12. sia .12) fara .144. et questo .144. partiro per il lato .p q. che è. 10. mene venira 14 ${2 \over 3}$ e ponti .24 ${2 \over 3}$ diro che sia la ombra retta .i g. fatto questo procedero come fece in principio multiplicaro il lato .i l. (che è.12.) sia il lato .e f. (che .350.) fara .4200. et questo .4200. partiro per li ponti della ombra retta cioè per il lato .i g. che e .14 ${2 \over 3}$ . ne venira .291. ${2 \over 3}$ . per il lato .a f.(si come per l’altro modo) dapoi gli agiongero la quantita .f b. cioè passa 2. fara pur passa. 293 ${2 \over 3}$ . che è pur il primo proposito. Et perche si come è il lato .l q. al lato (over ypothumissa .l p.c si e il lato .e f. al lato (over ypothumissa) .e a. et perche il lato .l q. al lato over ypothumissa .l p. (per la penultima del 1. di Euclide) e come .12. alla radice quadrata di .244. onde per trovar lo lato, over ypothumissa e a. (occulta) (per la evidentia della 20. del .7. di Euclide) multiplico lo lato .e f (cioè passa 350) sia la radice quadrata di 244. fara radice quadrata .29890000 lo qual partisco per 12. ne vien radice quadrata .207569 ${4 \over 9}$ .. laqual sara circa 455. ${2 \over 3}$ . è passa 455. ${2 \over 3}$ nel circa diro che sta la distantia ypothumissale, over diametrale .a e. che è il secondo proposito. Ancora per la penultima del .1. di Euclide. Io potea trovar la detta ypothumissa .e a. multiplicando il lato .e f. in se, che saria .122500. similmente il lato .f a. in se che faria .75069 ${4 \over 9}$ gionto con .122500 faria 207569 ${4 \over 9}$ la radice de 270569 ${4 \over 9}$ (laqual saria circa) 455. ${4 \over 9}$ . [p. 28^r modifica]e passa circa .455. ${2 \over 3}$ . diria che fusse la detta ypothumissa .e a. si come che ancora per l’altra via fu determinato che è il proposito, et se per caso il piano terreo non fusse piano, over che il perpendicolo cascasse sopra alcuna parte di ponto, over de divisione procederia si come nella precedente, et per conoscer meglio le dette parti over frattioni dividero cadaun ponto, over divisione, si de l’ombra retta come della versa (come di sopra fu ancor detto) in altre dodeci parti, et cadauna di quelle chiamaremo minuto: la qual divisione mi sara molto accomoda per trovar le dette altezze, et ancora le distantie ypothumissale et orizontale senza movermi dal luoco dove me ritrovo.