Generalizzazione della formula di Simpson

by Giuseppe Peano

Giuseppe Peano

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Generalizzazione della formula di Simpson

Giuseppe Peano

1892

GENERALIZZAZIONE

DELLA

FORMULA DI SIMPSON

NOTA

DI

GIUSEPPE PEANO

TORINO

CARLO CLAUSEN

Libraio della R. Accademia delle Scienze

1892

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Estr. dagli Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. XXVII.
Adunanza del 27 Marzo 1892

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Torino. — Stamperia Reale della Ditta G. B. Paravia e C.
509 (C 3) 22-IV-92

Fra le formule per le quadrature sono notevoli quella dei trapezii

(α)

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\left[f(a)+f(b)\right]+R$

,

ove

$R=-{\frac {\left(b-a\right)^{3}}{12}}f^{''}(u)$;

e quella di Simpson:

(β)	$\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]+R$

ove

$R=-{\frac {\left(b-a\right)^{5}}{4!5!}}f^{IV}(u)$,

rappresentando costantemente con u un valore intermedio fra a e b¹. Il resto nella (α) è nullo, se f(x) è intera di primo grado, e nella (β) il resto è nullo, se f(x) è intera di grado non superiore al terzo. Parallelamente a queste formule si hanno quelle di Gauss. L'analoga alla (β) è

(β')	$\left\{{\begin{array}{lcl}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&=&{\frac {b-a}{2}}\left[\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)\right.\\&&+\left.f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)\right]+R\end{array}}\right.$

ove

$R=-{\frac {\left(b-a\right)^{5}}{180.4!}}f^{IV}(u)$ ,

e il resto è nullo per le funzioni di grado non superiore al terzo.

Paragonando le formule (β) e (β'), che si possono considerare come egualmente approssimate, risulta che è più semplice, in generale, il calcolo dei tre valori $f\left(a\right)$, $f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$, $f\left(b\right)$ che esige la formula (β), che il calcolo dei due

$f\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)$, $f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)$

che esige la formola (β'). Questo spiega il maggior uso della formula (β) di Simpson sulla corrispondente (β') di Gauss.

Le formule di Gauss costituiscono una successione infinita, mentrechè le formule dei trapezii e di Simpson erano finora isolate. Io mi propongo di esporre qui una successione di infinite formule di quadrature, di cui le due prime sono appunto la (α) e la (β).

Per semplicità supporremo i limiti dell'integrale eguali a -1 e +1; poiché basta fare il cambiamento

$x={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{2}}x'$,

onde ridurci a questo caso.

La questione che ci proponiamo è questa: Determinare gli n + 1 coefficienti A₀, A₁, ... A_n e gli n - 1 valori x₁ x₂ ... x_{n - 1} compresi fra -1 e +1 in guisa che la formula

(1)	$\left\{{\begin{array}{lcl}\int _{-1}^{+1}f(x)\,dx&=&A_{0}f\left(-1\right)+A_{1}f\left(x_{1}\right)+A_{2}f\left(x_{2}\right)+...\\&&+A_{n-1}f\left(x_{n-1}\right)+A_{n}f\left(1\right)\end{array}}\right.$

sussista, qualunque sia la funzione f(x) intera di grado 2n - 1.

La soluzione è la seguente. Pongasi.

(2)	$Y_{n}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-1}\left(x^{2}-1\right)^{n}$.

Avendo la funzione (x² - 1)ⁿ le radici -1 ed 1 multiple d'ordine n, la sua derivata (n-1)^ma, Y_n, avrà le radici x₀=-1, x_n=1, semplici, ed n - 1 radici x₁ x₂ ... x_{n - 1} distinte e comprese fra -1 e +1. Si calcolino i coefficienti A₀, A₁, ... colla formola

(3)	$A_{r}=\int _{-1}^{+1}{\frac {\left(x-x_{0}\right)...\left(x-x_{r-1}\right)\left(x-x_{r+1}\right)...\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{r}-x_{0}\right)...\left(x_{r}-x_{r-1}\right)\left(x_{r}-x_{r+1}\right)...\left(x_{r}-x_{n}\right)}}dx.$

Allora sussisterà la formula (1).

Infatti, si divida la f(x), funzione intera di grado 2n - 1, per Y_n, di grado n + 1; siano φ(x) il quoziente, ψ(x) il resto, onde:

(4)	$f(x)=\psi (x)+Y_{n}\varphi (x).$

Sarà ψ(x) di grado n, e φ(x) di grado n - 2. Attribuendo ad x gli n + 1 valori x₀, x₁, ... x_n, per cui si annulla Y_n, si avrà

$f(x_{0})=\psi (x_{0})$, $f(x_{1})=\psi (x_{1})$, ... $f(x_{n})=\psi (x_{n})$.

Quindi la funzione ψ(x), intera, di grado n, di cui si conoscono i valori per n + 1 valori della variabile, si può esprimere colla formola d'interpolazione di Lagrange:

(5)	$\psi (x)=\sum _{r}{\frac {\left(x-x_{0}\right)...\left(x-x_{r-1}\right)\left(x-x_{r+1}\right)...\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{r}-x_{0}\right)...\left(x_{r}-x_{r-1}\right)\left(x_{r}-x_{r+1}\right)...\left(x_{r}-x_{n}\right)}}f(x_{r})$

Dalla (4) si ha:

(6)	$\int _{-1}^{+1}f(x)dx=\int _{-1}^{+1}\psi (x)dx+\int _{-1}^{+1}Y_{n}\varphi (x)dx$

Ora, dalle (5) e (3), si ricava

(7)	$\int _{-1}^{+1}\psi (x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r}),$

Riguardo al secondo integrale, coll'integrazione per parti si ha:

${\begin{array}{lcl}\int Y_{n}\varphi (x)dx&=&\int \varphi (x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-1}(x^{2}-1)^{n}dx=\\&=&\varphi (x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-2}(x^{2}-1)^{n}-\varphi '(x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-3}(x^{2}-1)^{n}+...\\&\pm &\varphi ^{(n-2)}{x}.(x^{2}-1)^{n}\mp \int \varphi ^{(n-1)}(x)(x^{2}-1)^{n}dx.\end{array}}$

Mettendo i limiti -1 e +1, tutti i termini integrati nel secondo membro si annullano, perchè contengono il fattore x² - 1; e siccome φ(x) è di grado n - 2, sarà φ^(n-1)(x)=0, onde:

(8)	$\int _{-1}^{+1}Y_{n}\varphi (x)dx=0$

Sostituendo nella (6) ai due integrali del secondo membro i loro valori dati dalle (7) ed (8), si ha la formola (1) che si voleva dimostrare.

La formola (1), esatta se f(x) è intera di grado 2n - 1, è approssimata se f(x) è una funzione arbitraria. Per calcolare l'errore R, tale che si abbia:

(9)	$\int _{-1}^{+1}f(x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r})+R.$

si formi la funzione F(x), intera, di grado 2n - 1, che soddisfa alle 2n condizioni: $F(x_{0})=f(x_{0}),F(x_{1})=f(x_{1}),F(x_{2})=f(x_{2}),$ ... $F(x_{n-1})=f(x_{n-1}),F(x_{n})=f(x_{n})$,$F'(x_{1})=f'(x_{1}),F'(x_{2})=f'(x_{2}),...F'(x_{n-1})=f'(x_{n-1}),$,

Si avrà, com'è noto:

(10)	$f(x)=F(x)+(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}(x-x_{2})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n}){\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}$

Integrando si avrà appunto $\int _{-1}^{+1}F(x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r})$, onde

(11)	$R=\int _{-1}^{+1}(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n}){\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}dx.$

Portando fuori del segno integrale il fattore ${\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}$, cosa lecita, poiché il fattore rimanente ha un segno costante nell'intervallo di integrazione, si ha:

(12)	$R={\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}\int _{-1}^{+1}(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n})dx.$

Facendo n = 1, si ha la formula dei trapezii (α).
Per n = 2 si ha la formula di Simpson (β).
Per n = 3, fatti i calcoli, si ha:

$\int _{-1}^{+1}f(x)dx={\frac {1}{6}}f(-1)+{\frac {5}{6}}f\left(-{\sqrt {\frac {1}{5}}}\right)+{\frac {5}{6}}f\left({\sqrt {\frac {1}{5}}}\right)+{\frac {1}{6}}f(1)+R,$,

ove

$R=-{\frac {2^{5}}{3.5^{2}.7.6!}}f^{(6)}(u)$,

e il resto è nullo per le funzioni di grado inferiore al 6º.
Per n = 4 si ha:

$\int _{-1}^{+1}f(x)dx={\frac {1}{10}}f(-1)+{\frac {49}{90}}f\left(-{\sqrt {\frac {3}{7}}}\right)+{\frac {32}{45}}f(0)+$ $+{\frac {49}{90}}f\left({\sqrt {\frac {3}{7}}}\right)+{\frac {1}{10}}f(1)+R$

ove

$R=-{\frac {f^{(8)}(u)}{2^{2}.3^{4}.5^{2}.7^{3}}}=-{\frac {f^{(8)}(u)}{2778300}}$.

Nota. — La stessa questione fu già trattata dal compianto D. Turazza, nel suo scritto: «Intorno all'uso dei compartimenti diseguali nella ricerca del valore numerico di un dato integrale » (Memorie I. R. Istituto Veneto, vol. V, 1855, pag. 277-298). Credo però nuove le espressioni di Y_n e dei resti.

Note

1. Pubblicai quell'espressione del resto della formola di Simpson nelle Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, pag. 206.