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GENERALIZZAZIONE DELLA FORMULA DI SIMPSON 5

n + 1 coefficienti A0, A1, ... An e gli n - 1 valori x1 x2 ... xn - 1 compresi fra -1 e +1 in guisa che la formula

(1)


sussista, qualunque sia la funzione f(x) intera di grado 2n - 1.

La soluzione è la seguente. Pongasi.

(2) .

Avendo la funzione (x2 - 1)n le radici -1 ed 1 multiple d'ordine n, la sua derivata (n-1)ma, Yn, avrà le radici x0=-1, xn=1, semplici, ed n - 1 radici x1 x2 ... xn - 1 distinte e comprese fra -1 e +1. Si calcolino i coefficienti A0, A1, ... colla formola

(3)


Allora sussisterà la formula (1).

Infatti, si divida la f(x), funzione intera di grado 2n - 1, per Yn, di grado n + 1; siano φ(x) il quoziente, ψ(x) il resto, onde:

(4)

Sarà ψ(x) di grado n, e φ(x) di grado n - 2. Attribuendo ad x gli n + 1 valori x0, x1, ... xn, per cui si annulla Yn, si avrà

, , ... .

Quindi la funzione ψ(x), intera, di grado n, di cui si conoscono i valori per n + 1 valori della variabile, si può esprimere colla formola d'interpolazione di Lagrange:

(5)