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G. PEANO

Dalla (4) si ha:

(6)	$\int _{-1}^{+1}f(x)dx=\int _{-1}^{+1}\psi (x)dx+\int _{-1}^{+1}Y_{n}\varphi (x)dx$

Ora, dalle (5) e (3), si ricava

(7)	$\int _{-1}^{+1}\psi (x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r}),$

Riguardo al secondo integrale, coll'integrazione per parti si ha:

${\begin{array}{lcl}\int Y_{n}\varphi (x)dx&=&\int \varphi (x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-1}(x^{2}-1)^{n}dx=\\&=&\varphi (x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-2}(x^{2}-1)^{n}-\varphi '(x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-3}(x^{2}-1)^{n}+...\\&\pm &\varphi ^{(n-2)}{x}.(x^{2}-1)^{n}\mp \int \varphi ^{(n-1)}(x)(x^{2}-1)^{n}dx.\end{array}}$

Mettendo i limiti -1 e +1, tutti i termini integrati nel secondo membro si annullano, perchè contengono il fattore x² - 1; e siccome φ(x) è di grado n - 2, sarà φ^(n-1)(x)=0, onde:

(8)	$\int _{-1}^{+1}Y_{n}\varphi (x)dx=0$

Sostituendo nella (6) ai due integrali del secondo membro i loro valori dati dalle (7) ed (8), si ha la formola (1) che si voleva dimostrare.

La formola (1), esatta se f(x) è intera di grado 2n - 1, è approssimata se f(x) è una funzione arbitraria. Per calcolare l'errore R, tale che si abbia:

(9)	$\int _{-1}^{+1}f(x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r})+R.$