Elementi/Libro primo/Propositione 44
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Propositione 44
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Problema. 12. Propositione. 44.
44|44 Proposta una linea retta, sopra quella puotemo designare una superficie dei lati equidistanti, in uno angolo dato, & che essa superficie sia equale a uno triangolo assignaro.
Sia la data linea .a.b. & il dato angolo .c. & lo dato triangolo .d.e.f. hor uoglio sopra la linea .a.b. designarli una superficie de lati equidistanti, talmente che la detta linea .a.b. sia un di lati di quella, & che l'uno e l'altro de suoi angoli contrapositi sieno equali all'angolo .c. per la trigesima quarta propositione, & che tutta la predetta superficie sia equale al triangolo .d.e.f.. Questa tal propositione è differente dalla quadragesima seconda in questo,
che quì si da uno lato della superficie che se ha da descriuere: cioe la linea .a.b. ma in la detta quadragesima seconda no se ne da niuno,, quando adonque uorro descriuerò questa tal superficie sopra la detta linea .a.b. in diretto a quella laqual pongo equale alla basa .e.f. del triangolo dato, sopra dellaquale linea .a.g. costituisco uno triangolo equale al dato triangolo .d.e.f. et equilatero, laqual cosa faccio in questo modo. costituisco l'angolo .a.g.k. equale all'angolo .e. & l'angolo .g.a.k. equal all'angolo .f. (per la dottrina della uigesima tertia propositione) & perche la basa .g.a. fu posta equale alla basa .e.f. adonque il triangolo .g.a.k. per la uigesima sesta propositione, serà equale, & equilatero al triangolo .d.e.f. hor diuderò la basa .g.a. in due parti equale in lo ponto .h. e tirarò la linea .k.h. & dal ponto .k. produrò la linea .m.k.n. equidistante alla linea .g.b. & per la trigesima ottaua propositione, il triangolo .a.h.k. serà equale al triangolo .g.h.k. hor sopra il ponto .a. con la linea .g.a. farò l'angolo .g.a.l. equale all'angolo .c. dato per la uigesima tertia propositione, & dal ponto .h. produrò .h.m. equidistante al .l.a. & serà costituido il paralellogrammo .m.h.l.a. fra le due linee .m.n. & .g.b. il qual paralellogrammo .m.h.l.a. per la quadragesima prima propositione, serà doppio al triangolo .k.h.a. per la qualcosa serà etiam equale a tutto il triangolo .k.g.a. & similmente, al triangolo .d.e.f. proposto (per la prima concettione) tirarò adunque la linea .b.n. equidistante alla linea .l.a. per la trigesima prima propositione, costituendo il paralellogrammo .l.a.n.b. Anchora produco il diametro .n.a. il quale tiro per fina a tanto che'l concorra con la linea m.h. anchora lei protratta in ponto .o. il qual concorso approuaremo in fin di questa propositione, & dal ponto .o. tiro la linea .o.q. equidistante alla linea .h.b. & produco la linea .n.b. fina che la si intersegha con la linea .o.p. come fa un ponto .q. & serà costituido il paralellogrammo .m.o.n.q. hora slongarò la linea .l.a. per fin al ponto .p. dilche tutto il grande paralellogrammo serà diuiso in li quattro paralellogrammi .l.a.n.b./.l.a.m.h./.a.h.o.p./.a.p.b.q. delli quali li duoi .l.a.n.b. & .h.o.a.p. sono attorno al diametro .n.o. li altri duoi .m.h.l.a. & .a.p.b.q. sono detti supplementi, li quali per la precedente propositione sono equali, & perche il triangolo .d.e.f. come di sopra fu dimostrato, si è anchora lui equale supplemente .m.h.l.a. serà etiam (per la prima concettione) equale all'altro supplemento .a.d.p.q. il quale è costituido sopra la data linea .a.b. E perche l'angolo .b.a.p. per la quinta decima propositione, si è equale all'angolo .l.a.b. & l'angolo .c. dato si è equal al ditto angolo .l.a.h. (perche cosi fu costituido) seguita adonque per la prima concettione, che l'angolo .b.a.p. sia equal al .c. dato. Eglie adonque manifesto, che sopra la linea .a.b. datta essergli descritta la superficie de lati equidistanti .a.b.p.q. equale al dato triangolo .d.e.f. & l'uno e l'altro di duoi angoli a.q. (contrapositi di quella) sono equali al dato angolo .c. come fu il proposito. Hor ci resta a prouar che producendo le due linee .n.a. & .m.h. è necessario che se congiongano, come fu di sopra promesso, hor perche le due linee .n.b. & .m.h. l'una e l'altra è equidistante alla linea .l.a. seranno etiam per la trigesima propositione, fra loro equidistante, & e per la tertia parte della uigesimanona, li duoi angoli .m.n.b. & .n.m.h. son equali a duoi angoli retti, & perche l'angolo .l.n.a. è menor de tutto l'angolo .m.n.b. per l'ultima concettione, adonque li dui angoli .n.m.h. & .m.n.a. gionti insieme seran minori di duoi angoli retti, seguita adonque per la quarta concettione, che slongarò le due linee .n.a.m.h. in quella parte l'è necessario che corran insieme, laqual cosa era da dimostrare.