Elementi/Libro primo/Propositione 45
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Propositione 45
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sopra la linea, ouer lato .h.g. per la precedente propositione, costituisco il paralellogrammo .h.g.m.l. equale all'altro triangolo .d.b.c. hauente l'angolo .m.h.g. equale al predetto angolo .e. dato. Et perche li duoi angoli .f.k.h. e .h.m.h.g. a uno per uno sono stati costituidi equali all'angolo .e. dato, dilche per la prima concettione, seranno etiam fra loro equali. Et aggiongendo communamente a ciascun di loro l'angolo .g.h.k. per la seconda concettione, li duoi angoli .f.k.h. e .g.h.k. seranno etiam equali alli duoi angoli .g.h.k. e .g.h.m. ma perche li duoi angoli .f.k.h. e .k.h.g. per la tertia parte della uigesimanona propositione sono equali a
duoi angoli retti li duoi angoli adonque .k.h.g. e .g.h.m. seranno etiam equali a duoi angoli retti, seguita adonque per la quartadecima propositione, che la linea .k.h. e la linea .h.m. siano direttamente congionte insieme et sieno insieme una sol linea che serca la linea .k.m. hor perche in le due linee .k.m. e .f.g. (le quale sono equidistante) sono segate
dalla linea .h.g. li duoi angoli .h.g.f. e .m.h.g. alterni sono equali (per la prima parte della uigesimanona propositione) giongiendoli communemente, all'uno e l'altro, l'angolo .h.g.l. li duoi angoli adonque .m.h.g. e .h.g.l. sono equali alli duoi angoli .h.g.f. e .h.g.l. (per la prima cõcettione et li duoi angoli .m.h.g. et .h.g.l. p la tertia parte della ditta uigesimanona Propositione, sono equali a duoi angoli retti, seguita adonque che li duoi angoli .h.g.l. e .h.g.f. siano equali a duoi angoli retti, dilche le due linee .f.g. e .g.l. sono indirette congionte , per la quarta decima propositione, e sono fatte una sol linea, che è la linea .f.l. Ma perche .f.k. (per la tregesima quarta propositione) è equale alla .b.g. etiam equidistante, similmente .m.l. è equale, e equidistante alla medesima .h.g. (per la trigesima propositione) .f.k. e .m.l. seranno etiam fra loro equale e equidistante, e le due linee .k.m. e .f.l. che le congiongano. (per la tregisimaterza propositione), sono equale, e equidistante. Adonque tutto .k.f.m.l. è parallelogrammo. Et perche il parallelogrammo .k.f.g.h. fu costituido equale al triangolo .a.b.d. e similmente il paralellogrammo .h.g.m.l. al triangolo .d.b.c. Adonque tutto il paralellogrammo .k.f.m.l. serà equale a tutto il rettilineo .a.b.c.d. e perche l'angolo .k. fu costituido equale all'angolo .e. dato, dilche hauemo costituido il paralellogrammo .k.f.m.l. equale al dato rettilieno a.b.c.d. etiam l'angolo .k. equal al dato angolo .e. che è il proposito.
Il Tradottore.
Bisogna notare qualmente il dato rettilineo .a.b.c.d. può essere contenuto da linee equidistante, e non equidistante, etiam de piu di quattro lati, perche questo nome rettilineo, è un nome generale, sotto al quale se intende ogni specie de figura contenuta da linee rette, per tanto se'l datto rettilineo fusse contenuto da cinque lati quello se doueria risolvere in tre triangoli, e procedere come se fatto di sopra, cioè sopra la linea .l.m. costruervi il terzo triangolo (per la quadragesima quarta) e così se andaria procedendo quando che’l ditto rettilineo fusse contenuto da più de cinque lati.