Dalle dita al calcolatore/IX/3
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3. Le quattro operazioni
Ora possiamo curiosare fra le tecniche usate 500 anni fa per eseguire le quattro operazioni. L’addizione è uguale alla nostra; poiché non si usano i segni + e =, si scrive “somma” alla sinistra del risultato. Nella sottrazione, per lo stesso motivo, si scrive la parola “resto”; la sottrazione col “prestito” è usuale, ma c’è un metodo che consente di eseguire i calcoli evitandolo: si aggiunge una decina alle unità del minuendo e una decina alle decine del sottraendo; per eseguire 54 − 28 si effettua la somma 10 + 4 = 14, da cui si deduce 8, ottenendo 6; quindi 2 decine più una dà 3 decine da sottrarre a 5; risultato: 2 decine e 6 unità, cioè 26. Si fa ricorso anche alla sottrazione per complementi, che rende più semplice la manipolazione mentale dei numeri. Dovendo eseguire 54 − 28, si osserva: 4 meno 8 non si può, da 8 per arrivare a 10 mancano 2; 2 + 4 fanno 6, che si scrive sotto; 5 diventa 4, 4 − 2 = 2, che si scrive sotto; risultato: 26. Il numero 2, trovato all’inizio, è il complemento di 8 nell’ambito della decina, donde il nome dato alla sottrazione.
Moltissime sono le tecniche inventate per eseguire la moltiplicazione. La conoscenza della tavola pitagorica è sempre raccomandata, e anche indispensabile. Il procedimento di “testa”, detto anche “per colonna” o “per discorso”, è quello che si usa ancora quando uno dei due fattori è formato da una sola cifra: 329 × 6. Persone particolarmente abili nei calcoli lo usano anche con due cifre. Calcoliamo 329 × 25. Moltiplico 9 per 25 e ottengo 225, scrivo 5 e riporto 22; 2 per 25 dà 50, più 22 fa 72, scrivo 2 e riporto 7; 3 per 25 dà 75, più 7 viene 82, che scrivo; risultato: 8225.
Il procedimento “per ripieghi” (ossia, divisori) prevede la scomposizione di uno dei due fattori:
12 × 15 = 12 × 5 × 3 = 60 × 3 = 180 oppure
15 × 4 × 3 = 60 × 3 = 180
Il procedimento “per scapezzo” o “per spezzato” si avvale della scomposizione di uno o di ambedue i fattori; ciò consente di moltiplicare manipolando piccoli numeri; il risultato finale si ottiene sommando i risultati parziali.
Moltiplicazione per scapezzo. Lo schema “per gelosia” è chiamato così dai Veneziani
per la somiglianza con le persiane (o gelosie) poste
alle finestre. E detto anche “a caselle” o “a reticolo”.
Siccome proviene dagli Arabi, è noto anche come
“schema dei Mussulmani”. Calcoliamo 719 × 64. Dopo
aver collocato le cifre come mostrato nell’illustrazione,
in ogni quadrato scriviamo i prodotti parziali
delle singole moltiplicazioni, collocando le unità nella
metà bassa e le decine in quella alta. Se non vi sono
decine, il triangolino resta vuoto. Al termine sommiamo
le cifre in diagonale, a cominciare da destra e considerando
gli eventuali riporti. Risultato: 46.016.
| Moltiplicazione per gelosia. |
Lo schema “a scacchiero” è l’antenato di quello attualmente in uso. Es.: 736 × 428 = 315.008.
| Moltiplicazione a scacchiero. |
La fantasia è senza limiti. Esistono perfino schemi detti a quadrilatero, a triangolo, all’indietro, a castelluccio, a coppa, a rombo, a diamante, a piramide e a crocetta. Lo schema “a piramide” viene probabilmente usato per stupire, specie in concomitanza di risultati “strabilianti”. Nonostante il procedimento apparentemente balordo, il risultato è esatto e perciò merita una descrizione. Occorre prendere in considerazione le sole cifre riportate di volta in volta nel prospetto, moltiplicarle come indicato e giustapporre i risultati così come sono; le decine assenti vengono rimpiazzate con uno zero.
| Moltiplicazione a piramide. |
Lo schema “per crocetta” è descritto già nel Liber Abbaci di Leonardo Pisano. Dopo aver posto i due numeri su righe abbastanza distanziate e con le cifre distribuite a intervalli regolari, si tracciano dei segmenti che congiungono ogni cifra di un numero con tutte le cifre dell’altro numero. Successivamente si evidenziano i punti intermedi dei vari segmenti ("nodi"), e si inizia il calcolo procedendo da destra. Si moltiplicano i numeri congiunti dallo stesso segmento. Se in un nodo passano più segmenti, si sommano i prodotti parziali, con l’eventuale aggiunta dei riporti provenienti dai calcoli eseguiti al nodo precedente.
Moltiplicazione per crocetta
Le divisioni si effettuano anch’esse in molti modi: per danda, per colonna, per galera o per battello, per ripieghi e per scapezzo.
La divisione “per colonna” o di “testa” è quella in cui il divisore è formato da una sola cifra. È quindi abbastanza facile giungere al risultato operando mentalmente, di testa, appunto.
Divisione di testa o per colonna. La divisione “per ripieghi” si esegue dopo avere evidenziato i divisori del divisore. Eseguiamo 3215 : 24 = 133, resto 23. I ripieghi di 24 sono 4, 3 e 2. Il resto effettivo si calcola in questo modo: 1º resto + (2º resto × 1º ripiego) + (3º resto × 1º ripiego × 2º ripiego). Ossia:
3 + 4 × 2 + 1 × 4 × 3 = 3 + 8 + 12 = 23
Divisione per ripieghi.
La divisione “per battello” o “per galera” si chiama così perché, una volta terminato il calcolo, essa assomiglia a una imbarcazione con uno o più alberi, mentre i trattini usati per depennare le cifre fungono da remi. La divisione “per galera” è la versione scritta della divisione aurea eseguita sull’abaco con le pedine (“apici”). Già allora era ritenuta difficile, e per noi lo è ancora di più perché i resti vengono calcolati a partire dalla cifra di sinistra, e pertanto sono richiesti artifici ora inconsueti.