Trattato delle cose che stanno sul liquido/Libro secondo/Proposizione VIII

Libro secondo - Proposizione VIII

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Archimede - Trattato delle cose che stanno sul liquido (III secolo a.C.)
Traduzione dal greco di Anonimo (1822)
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Poste le stesse cose; quando la gravità della conoide a quella del liquido avrà minor ragione di quella del quadrato fatto dall’eccesso dell’asse sopra il sesquialtero della linea fino all’asse, al quadrato del medesimo asse; posta la conoide nel liquido, sicchè la base non tocchi il liquido, non tornerà diritta, ne rimarrà inclinata, se non quando l’asse farà colla superficie del liquido quell’angolo, che in appresso dovrà determinarsi (fig. 3. tav. 2.)

Sia il punto S centro della conoide ABD, e però KB sesquialtera di SB, dunque fatta SE eguale alla linea fino all’asse, di cui sesquialtera sia PK, sarà il1 resto BP sesquialtero di BE; stia dunque la gravità del solido a quella del fluido, come il quadrato di BI a quello di BK; sarà dunque BI minor di BP, essendo per ipotesi minor la ragione della gravità del solido a quella del fluido, cioè del quadrato BI al quadrato BK, che del quadrato fatto dall’eccesso BP, per cui l’asse BK supera il sesquialtero PK della linea fino all’asse, al quadrato dell’asse BK, e posta BL eguale a due terzi di BI, siccome BE è due terzi di BP, sarà BL minore altresì di BE; onde fatta EC eguale a BL, sarà il punto С dentro la parabola ABD; ed ordinata CN, e tirata la tangente NQ, sarà l’angolo NQK quello di cui si tratta. Perchè tirato il diametro NR eguale a BI, ed FE paralella a CN, ed ordinata HRG paralella ad NQ, la quale non giugnerà mai a toccare la base AD, non che a segarla, perchè essendo NF eguale a CE, cioè a BL, o pure a due terzi di BI, vale a dire di NR, il punto F è centro di gravità della porzione conoidale HNG: che se il punto G convenisse col punto D, non potrebbe (per lo lemma 5.) la distanza EK essere maggiore di nove quindicesimi di BK; laddove EK è più di quattro quindicesimi dell’asse, il quale si suppone avere alla SE minor ragione che di 15. a 4, essendo poi come il quadrato BI, ovvero NR al quadrato BK, così la gravità del solido a quella del liquido, e così la porzione conoidale HNG alla conoide ABD2 sarà la porzione HNG quella che può, e dee star sommersa nel liquido3 e congiunta la SF (che passerà ancora pel centro V della porzione galleggiante) sarà perpendicolare alla tangente NQ, ed alla superficie del liquido congruente colla base HG; e però in tal sito inclinato starà fermo il solido. Che se il diametro NR della porzione sommersa fosse рiù vicino all’asse BK; sicchè l’asse suddetto facesse colla superficie del liquido un angolo maggiore del sopra determinato; ovvero se fosse più lontano, di maniera che l’angolo suddetto fosse minore del già prescritto, è manifesto, che nel primo caso, siccome il vertice del diametro NR si accosterebbe più alla cima B dell’intera conoide, così il centro della porzione conoidale riuscirebbe sotto la linea EF, come in T, e congiunta la TSX farebbe colla superficie del liquido, e colla base HG un angolo acuto dalla banda de’ punti G, D; e però questi discendendo, ed ascendendo gli opposti H, A, la figura girerebbe d’intorno il centro S, finattanto che venisse nel sito di avere la porzione sommersa il suo centro in F. Nel seconde caso, il centro della porzione sarebbe sopra, ed oltre la linea EF, come in Y, e la retta YSZ farebbe angolo acuto colla base HG dalla banda de’ punti H, A, i quali viceversa discenderebbero, ascendendo gli opposti G, D, finattanto che il centro della sommersa porzione ritornasse su la linea EF, dove si equilibrerebbe il solido come sopra, nel sito già da noi determinato. Dunque non si fermerà nella nostra ipotesi la conoide inclinata, nè tornerà diritta, se non quando l’asse fa colla superficie del fluido l’angolo, che sopra si è determinato. Il che ec.


Note

  1. Eucl. l. 5. p. 19.
  2. 26. delle conoid. e sferoid.
  3. Prop. I. di questo.