Teoria degli errori e fondamenti di statistica/C.4.5

by Maurizio Loreti

C.4.5 Verifica di ipotesi nell'interpolazione lineare

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

C.4.5 Verifica di ipotesi nell'interpolazione lineare

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C.4.5 Verifica di ipotesi nell’interpolazione lineare

Nel paragrafo 11.4.1 abbiamo ricavato le formule (11.10) dei minimi quadrati e le formule (11.11) per l’errore dei coefficienti della retta interpolata: queste ultime richiedono la conoscenza dell’errore comune sulle ordinate $\sigma _{y}$ che, di consueto, viene ricavato a posteriori dai dati attraverso l’equazione (C.8).

Assai di frequente è necessario verificare delle ipotesi statistiche sui risultati dell’interpolazione lineare; una volta ricavata, ad esempio, la pendenza della retta interpolante, si può o voler confrontare la stima ottenuta con un valore noto a priori, o voler costruire attorno ad essa un intervallo corrispondente ad un certo livello di confidenza; o, ancora, si può voler effettuare il confronto (o calcolare l’ampiezza dell’intervallo di confidenza) per un valore ${\widehat {y}}=a+b{\widehat {x}}$ della $y$ stimato sulla base dell’interpolazione, e la cui varianza è data dalla (C.12).

È naturale pensare di sfruttare per questo scopo le tabelle della distribuzione normale; ma questo implicitamente richiede che il numero di coppie di dati a disposizione sia sufficientemente elevato perché la stima di $\sigma _{y}$ ottenuta a posteriori dai dati si possa considerare esatta. In realtà quando l’errore è ricavato a posteriori tutte le grandezze precedentemente citate non seguono la distribuzione normale ma la distribuzione di Student con $(N-2)$ gradi di libertà.