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C.4 - Applicazioni all’interpolazione lineare

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È naturale pensare di sfruttare per questo scopo le tabelle della distribuzione normale; ma questo implicitamente richiede che il numero di coppie di dati a disposizione sia sufficientemente elevato perché la stima di $\sigma _{y}$ ottenuta a posteriori dai dati si possa considerare esatta. In realtà quando l’errore è ricavato a posteriori tutte le grandezze precedentemente citate non seguono la distribuzione normale ma la distribuzione di Student con $(N-2)$ gradi di libertà.

C.4.6 Adeguatezza dell’interpolazione lineare o polinomiale in genere

Talvolta non si sa a priori che la relazione tra due variabili $x$ ed $y$ è di tipo lineare; ma, una volta eseguite le misure, si nota un loro approssimativo disporsi lungo una linea retta. In questo caso si può cercare di inferire una legge fisica dai dati sperimentali; ma come si può essere ragionevolmente sicuri che la relazione tra le due grandezze sia effettivamente lineare, anche limitandoci all’intervallo in cui sono distribuite le osservazioni?

Una possibilità è quella di eseguire interpolazioni successive con più curve polinomiali di grado $M$ crescente, del tipo

$y\;=\;P_{M}(x)\;=\;\sum _{k=0}^{M}a_{k}\,x^{k}$

(C.13)

e di osservare l’andamento del valore dei residui in funzione di $M$: al crescere del grado del polinomio questi diminuiranno, dapprima in modo rapido per poi assestarsi su valori, sempre decrescenti, ma più o meno dello stesso ordine di grandezza; ed infine si annulleranno quando $M=N-1$. Il valore di $M$ che segna la transizione tra questi due comportamenti ci dà il grado della curva polinomiale che descrive in modo soddisfacente la relazione tra le variabili senza per questo seguire le fluttuazioni casuali di ogni singola misura.

Nel caso in cui ognuno degli $N$ valori $y_{i}$ ha errore noto $\sigma _{i}$ (e le $y_{i}$ non sono correlate), la somma dei quadrati dei residui pesati in maniera inversamente proporzionale ai quadrati degli errori,

$S_{M}\;=\;\sum _{i=1}^{N}{\frac {{\delta _{i}}^{2}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\;=\;\sum _{i=1}^{N}{\frac {\left(y_{i}-{\widehat {y}}_{i}\right)^{2}}{{\sigma _{i}}^{2}}}$

(le ${\widehat {y}}_{i}$ si intendono calcolate usando il polinomio interpolante $y=P_{M}(x)$ (C.13), i cui $M+1$ coefficienti siano stati stimati dai dati) è distribuita come il $\chi ^{2}$ a $N-M-1$ gradi di libertà; la probabilità di ottenere un determinato valore