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Appendice C - Covarianza e correlazione

la sua conoscenza permette (usando questa formula) di ottenere facilmente l’errore a posteriori sulle ordinate interpolate (studiato nel paragrafo 11.4.2):

$\mu _{y}={\sqrt {\frac {\sum \nolimits _{i}\delta _{i}^{2}}{N-2}}}={\sqrt {{\frac {N}{N-2}}{\text{Var}}(y)(1-r^{2})}}$

(C.8)

oltre a fornire una grossolana stima dell’allineamento dei punti; quanto più infatti esso è rigoroso, tanto più $r$ si avvicina a $\pm 1$.

Il valore $\mu _{y}$ dell’errore rappresenta sempre anche una stima dell’allineamento dei punti, a differenza del coefficiente di correlazione lineare, per cui $r=\pm 1$ implica allineamento perfetto, ma non inversamente: potendo essere ad esempio (punti su di una retta parallela all’asse $x$) $r=0$ e ${\text{Var}}(y)=0$ ancora con allineamento perfetto.

È opportuno qui osservare che $r$ non è il coefficiente di correlazione fra gli errori delle grandezze $x$ ed $y$; infatti, per ipotesi, la $x$ non è affetta da errore e, se pur lo fosse, la correlazione fra gli errori sarebbe nulla qualora ciascuna $x_{i}$ fosse misurata indipendentemente dalla corrispondente $y_{i}$ o, altrimenti, sarebbe tanto più prossima ai valori estremi $\pm 1$ quanto maggiore fosse il numero di cause d’errore comuni alle misure di $x$ e di $y$.

Invece $r$ è il coefficiente di correlazione per l’insieme dei punti aventi coordinate date dalle coppie di valori misurati, e nell’ipotesi di effettiva dipendenza lineare delle grandezze $x$ ed $y$ sarebbe sempre rigorosamente uguale a $\pm 1$ se non intervenissero gli errori sperimentali.

C.4.2 Verifica di ipotesi sulla correlazione lineare

Non è pensabile di poter svolgere una teoria completa della correlazione in queste pagine; tuttavia talvolta un fisico si trova nella necessità di verificare delle ipotesi statistiche sul coefficiente di correlazione lineare ricavato sperimentalmente da un insieme di $N$ coppie di valori misurati $\{x_{i},y_{i}\}$. Nel seguito riassumiamo, senza darne alcuna dimostrazione, alcune proprietà di questi coefficienti:

• Se si vuole verificare che la correlazione tra $x$ ed $y$ sia significativamente differente da zero, si può calcolare il valore della variabile casuale

$t={\frac {r{\sqrt {N-2}}}{\sqrt {1-r^{2}}}}$

che è distribuita secondo Student con $(N-2)$ gradi di libertà, e controllare la sua compatibilità con lo zero.