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8.5 - La distribuzione di Poisson

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per la varianza, e

$\Pr(S)=\sum _{N=0}^{\infty }\left[{\frac {(N\xi )^{S}}{S!}}\,e^{-N\xi }\cdot {\frac {\nu ^{N}}{N!}}\,e^{-\nu }\right]$

per la funzione di frequenza.

Quest’ultima formula non sorprende: è la somma (su tutti i valori ammissibili) della probabilità di ottenere un determinato N, moltiplicata per la probabilità di ottenere il valore di S condizionato da quello di N; infatti la somma di N variabili indipendenti distribuite secondo Poisson con valore medio $\xi$ è ancora, in base a quanto dedotto dall’equazione (8.18), una variabile distribuita secondo Poisson e con valore medio $N\xi$.

8.5.6 Esempio: l’osservazione di un quark isolato

Un esempio classico di applicazione delle formule precedenti è la discussione di un articolo del 1969¹ in cui veniva annunciata l’osservazione di un quark isolato; l’esperienza ivi descritta consisteva nell’analizzare foto esposte in una camera a nebbia, attraversata da un fascio di particelle (aventi carica unitaria) che generavano tracce con un numero medio di gocce per unità di lunghezza $\alpha =229$: su $55^{.}000$ tracce osservate ce ne era una con un numero di gocce per unità di lunghezza $n=110$.

Questa traccia apparteneva indiscutibilmente al fascio di particelle; la probabilità che venisse osservato un numero di gocce per unità di lunghezza pari (o inferiore) a 110, se il fenomeno è descritto da una distribuzione di Poisson con media 229, è data da

$\Pr(n\leq 110)=\sum _{k=0}^{110}{\frac {229^{k}}{k!}}\,e^{-229}\;\approx \;1.6\times 10^{-18}$

e risulta ben inferiore (per 13 ordini di grandezza!) alla frequenza osservata $f=1/55^{.}000\approx 2\times 10^{-5}$. Per questo motivo gli autori sostenevano di avere osservato una particella con carica frazionaria (un quark), e che causava in conseguenza una ionizzazione assai inferiore alle altre.

Una prima obiezione² fu che, in ogni urto elementare tra le particelle del fascio e le molecole di gas della camera, vengono generati in media $\nu =4$ prodotti ionizzati indipendenti: e quindi 4 gocce. Il numero medio effettivo

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1. McCusker e Cairns: Evidence of quarks in air-shower cores; Phys. Rev. Lett. 23 (1969), pagg. 658-659.
2. Adair e Kasha: Analysis of some results of quark searches; Phys. Rev. Lett. 23 (1969), pagg. 1355-1358.