Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.1

8.1 La distribuzione uniforme

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8.1 La distribuzione uniforme

Il caso più semplice, dal punto di vista teorico, è quello di una variabile casuale x che possa assumere solo valori compresi in un intervallo finito avente estremi costanti prefissati, ; e ivi con probabilità uguale per ogni punto1.

Questo implica che la densità di probabilità di questa variabile debba essere definita come

(il valore costante di quando e fissato dalla condizione di [p. 94 modifica]normalizzazione). La funzione di distribuzione della x è data da

I valori della media e della varianza della variabile casuale x, come si può facilmente calcolare, valgono

(8.1)

Per vedere una prima applicazione pratica della distribuzione uniforme, supponiamo di misurare una grandezza fisica usando uno strumento digitale: ad esempio una bilancia con sensibilità inversa di 1 grammo. Se, per semplicità, escludiamo la presenza di errori sistematici, il fatto che il display digitale indichi (ad esempio) 10 grammi significa solo che la massa dell’oggetto pesato è maggiore o uguale a questo valore e minore di 11 grammi2; e tutti i valori interni a questo intervallo ci appaiono inoltre come ugualmente plausibili. Per questo motivo, viste le (8.1), in casi di questo genere si attribuisce all’oggetto pesato una massa di 10.5 g con un errore di g.

Note

  1. La frase è intuitiva, ma impropria; si intende qui che la probabilità, per la variabile casuale, di cadere in un intervallino di ampiezza (infinitesima) prefissata dx e centrato su un qualsivoglia punto del dominio di definizione, ha sempre lo stesso valore.
  2. La maggior parte degli strumenti digitali tronca il valore mostrato e si comporta appunto in questo modo; altri invece arrotondano il risultato e, se questo fosse il caso, vorrebbe dire che la massa dell’oggetto pesato è maggiore o uguale a 9.5 g e minore di 10.5 g.