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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

normalizzazione). La funzione di distribuzione $F(x)$ della x è data da

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t={\begin{cases}0&{\text{per }}x<a;\\[1em]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{per }}a\leq x\leq b;\\[1em]1&{\text{per }}x>b.\end{cases}}$

I valori della media e della varianza della variabile casuale x, come si può facilmente calcolare, valgono

${\begin{cases}E(x)={\frac {a+b}{2}}\\[1em]{\text{Var}}(x)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}\end{cases}}$

(8.1)

Per vedere una prima applicazione pratica della distribuzione uniforme, supponiamo di misurare una grandezza fisica usando uno strumento digitale: ad esempio una bilancia con sensibilità inversa di 1 grammo. Se, per semplicità, escludiamo la presenza di errori sistematici, il fatto che il display digitale indichi (ad esempio) 10 grammi significa solo che la massa dell’oggetto pesato è maggiore o uguale a questo valore e minore di 11 grammi¹; e tutti i valori interni a questo intervallo ci appaiono inoltre come ugualmente plausibili. Per questo motivo, viste le (8.1), in casi di questo genere si attribuisce all’oggetto pesato una massa di 10.5 g con un errore di $1/{\sqrt {12}}\approx 0.3$ g.

8.1.1 Applicazione: decadimento del $\pi ^{0}$

Esistono, nella fisica, variabili casuali che seguono la distribuzione uniforme: ad esempio, se una particella instabile non dotata di momento angolare intrinseco (come il mesone $\pi ^{0}$), originariamente in quiete in un punto (che supporremo sia l’origine degli assi coordinati), decade, i prodotti di decadimento si distribuiscono uniformemente tra le varie direzioni possibili; sostanzialmente per motivi di simmetria, perché non esiste nessuna direzione privilegiata nel sistema di riferimento considerato (ovverosia nessuna caratteristica intrinseca del fenomeno che possa servire per definire uno, o più d’uno, degli assi coordinati).

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1. La maggior parte degli strumenti digitali tronca il valore mostrato e si comporta appunto in questo modo; altri invece arrotondano il risultato e, se questo fosse il caso, vorrebbe dire che la massa dell’oggetto pesato è maggiore o uguale a 9.5 g e minore di 10.5 g.