Teoria degli errori e fondamenti di statistica/7.1.6

7.1.6 Ancora sui valori estremi di un campione

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7.1.5 7.2

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7.1.6 Ancora sui valori estremi di un campione

Come esempio, e ricordando il paragrafo 6.6, calcoliamo la densità di probabilità congiunta dei due valori estremi e di un campione ordinato e di dimensione N; questo sotto l’ipotesi che i dati appartengano a una popolazione avente funzione di frequenza e funzione di distribuzione entrambe note. [p. 88 modifica]

può provenire dal campione a disposizione in N maniere distinte; una volta noto , poi, può essere scelto in modi diversi; e, infine, ognuno dei dati restanti è compreso tra e : e questo avviene con probabilità . Ripetendo i ragionamenti del paragrafo 6.6, si ricava

(7.6)

che non è fattorizzabile: quindi i valori minimo e massimo di un campione non sono indipendenti tra loro. Introducendo le variabili ausiliarie

con

ed essendo identicamente uguale a , dalla (7.6) si ricava

che, ricordando il limite notevole

,

asintoticamente diventa

.


Quindi ed (come anche di conseguenza e ) sono statisticamente indipendenti solo asintoticamente, all’aumentare indefinito della dimensione del campione.