Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/103

7.1 - Variabili casuali bidimensionali

87

7.1.5 Applicazione: il decadimento debole $K_{e3}^{0}$

I decadimenti $K_{e3}^{0}$ consistono nei due processi deboli di decadimento del mesone $K^{0}$

$K^{0}\to e^{-}+\pi ^{+}+{\bar {\nu }}_{e}$

e

$K^{0}\to e^{+}+\pi ^{-}+\nu _{e}$;

essi possono essere descritti dalle due variabili casuali c (carica dell’elettrone nello stato finale, $c=\mp 1$) e t (tempo di vita del $K^{0}$). La teoria, sulla base della cosiddetta “ipotesi $\Delta Q=\Delta S$”), prevede che la funzione di frequenza congiunta sia

$f(t,c)={\frac {N(t,c)}{\sum \nolimits _{c}\int _{0}^{+\infty }N(t,c)\,\mathrm {d} t}}$

ove si è indicato con $N(t,c)$ la funzione

$N(t,c)=e^{-\lambda _{1}t}+e^{-\lambda _{2}t}+2c\cos {(\omega t)}e^{-{\frac {\lambda _{1}+\lambda _{2}}{2}}t}$:

(7.5)

nella (7.5), le costanti $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$ rappresentano gli inversi delle vite medie dei mesoni $K_{1}^{0}$ e $K_{2}^{0}$, mentre $\omega$ corrisponde alla differenza tra le loro masse.

Si vede immediatamente che la (7.5) non è fattorizzabile: quindi le due variabili non sono tra loro indipendenti. In particolare, le probabilità marginali sono date dalla

$h(t)={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}\left(e^{-\lambda _{1}t}+e^{-\lambda _{2}t}\right)$

e dalla

$g(c)={\frac {1}{2}}+{\frac {4c\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{2}+4\omega ^{2}}}$;

mentre le probabilità condizionate sono, da definizione, la

$h(t|c)={\frac {f(t,c)}{g(c)}}$

e la

$g(c|t)={\frac {f(t,c)}{h(t)}}$.

7.1.6 Ancora sui valori estremi di un campione

Come esempio, e ricordando il paragrafo 6.6, calcoliamo la densità di probabilità congiunta dei due valori estremi $x_{1}$ e $x_{N}$ di un campione ordinato e di dimensione N; questo sotto l’ipotesi che i dati appartengano a una popolazione avente funzione di frequenza $f(x)$ e funzione di distribuzione $F(x)$ entrambe note.