Teoria degli errori e fondamenti di statistica/6.4.1

by Maurizio Loreti

6.4.1 Funzioni caratteristiche di variabili discrete

../6.4 ../6.5 IncludiIntestazione 29 agosto 2022 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

6.4.1 Funzioni caratteristiche di variabili discrete

◄

6.4

6.5

►

6.4.1 Funzioni caratteristiche di variabili discrete

Invece della funzione caratteristica definita attraverso la (6.7), e che è una funzione complessa di variabile reale, talvolta, per variabili casuali discrete, viene usata una rappresentazione equivalente ricorrendo alla variabile complessa

$z=e^{it}$.

Sostituendo questa definizione di z nella (6.7) si ottiene la funzione caratteristica di variabile complessa

$\phi _{x}(z)=\sum \nolimits _{k}{\mathcal {p}}_{k}z^{x_{k}}=E(z^{x})$,

che ha proprietà analoghe a quelle della funzione caratteristica di variabile reale $\phi _{x}(t)$. In particolare, definendo una variabile casuale w come somma di due altre variabili x e y discrete e tra loro indipendenti, la funzione caratteristica di variabile complessa $\phi _{w}(z)$ è ancora il prodotto delle due funzioni caratteristiche $\phi _{x}(z)$ e $\phi _{y}(z)$: infatti

$\phi _{w}(z)$	$=\sum \nolimits _{jk}\Pr(x_{j})\Pr(y_{k})z^{(x_{j}+y_{k})}$
	$=\sum \nolimits _{j}\Pr(x_{j})z^{x_{j}}\cdot \sum \nolimits _{k}\Pr(y_{k})z^{y_{k}}$
	$=\phi _{x}(z)\cdot \phi _{y}(z)$;

e, generalizzando per induzione completa, la somma S di un numero prefissato N di variabili casuali discrete e tutte tra loro indipendenti

$S=\sum _{k=1}^{N}x_{k}$

è anch’essa associata alla funzione caratteristica di variabile complessa

$\phi _{S}(z)=\prod _{k=1}^{N}\phi _{x_{k}}(z)$.

Nel caso particolare, poi, in cui le N variabili provengano dalla stessa popolazione,

$\phi _{S}(z)=\left[\phi _{x}(z)\right]^{N}$.

(6.12)

Cosa accade se il numero N di variabili casuali da sommare non è costante, ma è anch’esso una variabile casuale (ovviamente discreta)? In altre parole, vogliamo qui di seguito trovare la rappresentazione analitica della funzione caratteristica della somma di un numero casuale di variabili casuali discrete, indipendenti ed aventi tutte la stessa distribuzione. Supponiamo che la N sia associata ad una funzione caratteristica

$\phi _{N}(z)=E(z^{N})=\sum \nolimits _{N}\Pr(N)z^{N}$;

(6.13)

la probabilità di ottenere un determinato valore per la S vale

$\Pr(S)=\sum \nolimits _{N}\Pr(N)\Pr(S|N)$

e di conseguenza la funzione caratteristica di variabile complessa associata alla S che, per definizione, è data dalla

$\phi _{S}(z)=E(z^{S})=\sum \nolimits _{S}\Pr(S)z^{S}$

si potrà scrivere anche

$\phi _{S}(z)$	$=\sum \nolimits _{S}z^{S}\cdot \sum \nolimits _{N}\Pr(N)\,\Pr(S|N)$
	$=\sum \nolimits _{N}\Pr(N)\cdot \sum \nolimits _{S}\Pr(S|N)z^{S}$
	$=\sum \nolimits _{N}\Pr(N)\cdot \left[\phi _{x}(z)\right]^{N}$.

Nell’ultimo passaggio si è sfruttato il fatto che la sommatoria su S rappresenta la speranza matematica di $z^{S}$ condizionata dall’avere assunto N un determinato valore; rappresenta quindi la funzione caratteristica della S quando N ha un valore costante prefissato, che appunto è data dalla (6.12).

Ricordando poi la (6.13), la funzione caratteristica cercata è infine data dalla funzione di funzione

$\phi _{S}(z)=\phi _{N}[\phi _{x}(z)]$

(6.14)

È immediato riconoscere che, se N non è propriamente una variabile casuale e può assumere un unico valore $N_{0}$, essendo tutte le $\Pr(N)$ nulle meno $\Pr(N_{0})=1$,

$\phi _{N}(z)=z^{N_{0}}$

e

$\phi _{S}(z)=\phi _{N}[\phi _{x}(z)]=[\phi _{x}(z)]^{N_{0}}$

e la (6.14) ridiventa la meno generale (6.12).