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Capitolo 6 - Variabili casuali unidimensionali continue

Cosa accade se il numero N di variabili casuali da sommare non è costante, ma è anch’esso una variabile casuale (ovviamente discreta)? In altre parole, vogliamo qui di seguito trovare la rappresentazione analitica della funzione caratteristica della somma di un numero casuale di variabili casuali discrete, indipendenti ed aventi tutte la stessa distribuzione. Supponiamo che la N sia associata ad una funzione caratteristica

$\phi _{N}(z)=E(z^{N})=\sum \nolimits _{N}\Pr(N)z^{N}$;

(6.13)

la probabilità di ottenere un determinato valore per la S vale

$\Pr(S)=\sum \nolimits _{N}\Pr(N)\Pr(S|N)$

e di conseguenza la funzione caratteristica di variabile complessa associata alla S che, per definizione, è data dalla

$\phi _{S}(z)=E(z^{S})=\sum \nolimits _{S}\Pr(S)z^{S}$

si potrà scrivere anche

$\phi _{S}(z)$	$=\sum \nolimits _{S}z^{S}\cdot \sum \nolimits _{N}\Pr(N)\,\Pr(S|N)$
	$=\sum \nolimits _{N}\Pr(N)\cdot \sum \nolimits _{S}\Pr(S|N)z^{S}$
	$=\sum \nolimits _{N}\Pr(N)\cdot \left[\phi _{x}(z)\right]^{N}$.

Nell’ultimo passaggio si è sfruttato il fatto che la sommatoria su S rappresenta la speranza matematica di $z^{S}$ condizionata dall’avere assunto N un determinato valore; rappresenta quindi la funzione caratteristica della S quando N ha un valore costante prefissato, che appunto è data dalla (6.12).

Ricordando poi la (6.13), la funzione caratteristica cercata è infine data dalla funzione di funzione

$\phi _{S}(z)=\phi _{N}[\phi _{x}(z)]$

(6.14)

È immediato riconoscere che, se N non è propriamente una variabile casuale e può assumere un unico valore $N_{0}$, essendo tutte le $\Pr(N)$ nulle meno $\Pr(N_{0})=1$,

$\phi _{N}(z)=z^{N_{0}}$

e

$\phi _{S}(z)=\phi _{N}[\phi _{x}(z)]=[\phi _{x}(z)]^{N_{0}}$

e la (6.14) ridiventa la meno generale (6.12).