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6.4 - Funzione generatrice e funzione caratteristica

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Quindi la funzione caratteristica della somma di N variabili casuali statisticamente indipendenti è pari al prodotto delle loro funzioni caratteristiche.

6.4.1 Funzioni caratteristiche di variabili discrete

Invece della funzione caratteristica definita attraverso la (6.7), e che è una funzione complessa di variabile reale, talvolta, per variabili casuali discrete, viene usata una rappresentazione equivalente ricorrendo alla variabile complessa

$z=e^{it}$.

Sostituendo questa definizione di z nella (6.7) si ottiene la funzione caratteristica di variabile complessa

$\phi _{x}(z)=\sum \nolimits _{k}{\mathcal {p}}_{k}z^{x_{k}}=E(z^{x})$,

che ha proprietà analoghe a quelle della funzione caratteristica di variabile reale $\phi _{x}(t)$. In particolare, definendo una variabile casuale w come somma di due altre variabili x e y discrete e tra loro indipendenti, la funzione caratteristica di variabile complessa $\phi _{w}(z)$ è ancora il prodotto delle due funzioni caratteristiche $\phi _{x}(z)$ e $\phi _{y}(z)$: infatti

$\phi _{w}(z)$	$=\sum \nolimits _{jk}\Pr(x_{j})\Pr(y_{k})z^{(x_{j}+y_{k})}$
	$=\sum \nolimits _{j}\Pr(x_{j})z^{x_{j}}\cdot \sum \nolimits _{k}\Pr(y_{k})z^{y_{k}}$
	$=\phi _{x}(z)\cdot \phi _{y}(z)$;

e, generalizzando per induzione completa, la somma S di un numero prefissato N di variabili casuali discrete e tutte tra loro indipendenti

$S=\sum _{k=1}^{N}x_{k}$

è anch’essa associata alla funzione caratteristica di variabile complessa

$\phi _{S}(z)=\prod _{k=1}^{N}\phi _{x_{k}}(z)$.

Nel caso particolare, poi, in cui le N variabili provengano dalla stessa popolazione,

$\phi _{S}(z)=\left[\phi _{x}(z)\right]^{N}$.

(6.12)