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Capitolo 12 - La verifica delle ipotesi (I)

segue la distribuzione di Student ad $N-1$ gradi di libertà.

Insomma: se i campioni a disposizione non hanno dimensioni accettabili, una volta calcolato lo scarto normalizzato relativo alla differenza tra la media di un campione ed un valore prefissato occorrerà confrontare il suo valore con i limiti degli intervalli di confidenza relativi alla distribuzione di Student e non alla distribuzione normale¹.

12.5 La compatibilità di due valori misurati

Un altro caso frequente è quello in cui si hanno a disposizione due campioni di misure, e si vuole verificare l’ipotesi statistica che essi provengano da popolazioni aventi lo stesso valore medio: un caso particolare è quello dell’ipotesi consistente nell’essere i due campioni composti da misure della stessa grandezza fisica, che hanno prodotto differenti stime come effetto della presenza in entrambi degli errori; errori che assumiamo ancora seguire la legge normale.

Siano ad esempio un primo campione di $N$ misure $x_{i}$, ed un secondo campione di $M$ misure $y_{j}$; indichiamo con ${\bar {x}}$ e ${\bar {y}}$ le medie dei due campioni, con ${\sigma _{x}}^{2}$ e ${\sigma _{y}}^{2}$ le varianze delle popolazioni da cui tali campioni provengono, e con $\delta ={\bar {x}}-{\bar {y}}$ la differenza tra le due medie.

Sappiamo già che i valori medi e le varianze delle medie dei campioni sono legati ai corrispondenti valori relativi alle popolazioni dalle

$E({\bar {x}})=E(x)$

,

$E({\bar {y}})=E(y)$

e

${\text{Var}}({\bar {x}})\;=\;{\frac {{\sigma _{x}}^{2}}{N}}$

,

${\text{Var}}({\bar {y}})\;=\;{\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{M}}$

per cui risulterà, se i campioni sono tra loro statisticamente indipendenti e se si ammette valida l’ipotesi (da verificare) che abbiano la stessa media,

$E(\delta )\;=\;E({\bar {x}}-{\bar {y}})\;=\;E(x)-E(y)=0$

e

${\text{Var}}(\delta )\;=\;{\text{Var}}({\bar {x}}-{\bar {y}})\;=\;{\frac {{\sigma _{x}}^{2}}{N}}+{\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{M}}$.

Inoltre, essendo ${\bar {x}}$, ${\bar {y}}$ (e quindi $\delta$) combinazioni lineari di variabili normali, seguiranno anch’esse la legge normale; e la verifica dell’ipotesi che i

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1. Per taluni più usati valori del livello di confidenza, i limiti rilevanti si possono trovare tabulati anche nell’appendice G.