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12.4 - I piccoli campioni e la distribuzione di Student

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presupposto valore vero della grandezza misurata e la media aritmetica dei nostri dati, nell’esempio precedente) quel valore di $\tau$ corrisponde in effetti ad una verifica relativa ad un livello di confidenza del 5% (usando il termine inglese, stiamo effettuando un two-tailed test); ma se l’ipotesi riguarda l’essere un valore numerico superiore (od inferiore) alla nostra media aritmetica (ad esempio, i dati misurati potrebbero essere relativi al rendimento di una macchina, e si vuole verificare l’ipotesi che tale rendimento misurato sia superiore ad un valore prefissato), allora un limite $\tau =1.96$ corrisponde in effetti ad un livello di confidenza del 2.5% (one-tailed test): nell’esempio fatto, soltanto l’intervallo $[-\infty ,-\tau ]$ deve essere preso in considerazione per il calcolo della probabilità. Alcuni limiti relativi a diversi livelli di confidenza si possono trovare nelle tabelle 12.2 e 12.3; altri si possono facilmente ricavare dalle tabelle dell’appendice G.

12.4 I piccoli campioni e la distribuzione di Student

Cosa si può fare riguardo alla verifica di ipotesi statistiche come quella (considerata nel paragrafo precedente) della compatibilità del risultato delle misure con un valore noto a priori, quando si abbiano a disposizione solamente piccoli campioni? Ci riferiamo, più esattamente, a campioni costituiti da un numero di dati così esiguo da farci ritenere che non si possa ottenere da essi con ragionevole probabilità una buona stima delle varianze delle rispettive popolazioni (sempre però supposte normali).

Sia $X$ una variabile casuale distribuita come il $\chi ^{2}$ ad $N$ gradi di libertà, ed $u$ una seconda variabile casuale, indipendente dalla prima, e avente distribuzione normale standardizzata $N(u;0,1)$; consideriamo la nuova variabile casuale $t$ definita attraverso la

$t={\frac {u}{\sqrt {\dfrac {X}{N}}}}$.

(12.16)

Si può dimostrare che la funzione densità di probabilità relativa alla variabile casuale $t$ è data dalla

$f(t;N)={\frac {T_{N}}{\left(1+{\frac {t^{2}}{N}}\right)^{\frac {N+1}{2}}}}$

che si chiama distribuzione di Student ad N gradi di libertà.