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12.4 - I piccoli campioni e la distribuzione di Student

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Il coefficiente $T_{N}$ è una costante che viene fissata dalla condizione di normalizzazione; se $N$ viene poi fatto tendere all’infinito il denominatore della funzione (come si potrebbe facilmente provare partendo dal limite notevole (9.9)) tende a $e^{t^{2}/2}$, e dunque la distribuzione di Student tende alla distribuzione normale (con media 0 e varianza 1). Anche la forma della funzione di Student ricorda molto quella della funzione di Gauss, come appare evidente dalla figura 12e; soltanto, rispetto a dati che seguano la distribuzione normale, valori elevati dello scarto sono relativamente più probabili¹.

La distribuzione di Student è simmetrica, quindi tutti i momenti di ordine dispari (compreso il valore medio $\lambda _{1}$) sono nulli; mentre la varianza della distribuzione è

${\text{Var}}(t)={\frac {N}{N-2}}$

(se $N>2$); ed il coefficiente di curtosi vale

$\gamma _{2}={\frac {6}{N-4}}$

(se $N>4$).

Indicando con ${\bar {x}}$ la media aritmetica di un campione di dimensione $N$, estratto a caso da una popolazione normale avente valore medio $E(x)$ e varianza $\sigma ^{2}$; e con $s$ la stima della deviazione standard della popolazione ottenuta dal campione stesso, cioè

$s^{2}={\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{N-1}}$

sappiamo, ricordando l’equazione (12.8), che la variabile casuale

$X''=(N-1)\,{\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}$

è distribuita come il $\chi ^{2}$ ad $N-1$ gradi di libertà; inoltre, ovviamente,

$u={\frac {{\bar {x}}-E(x)}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {N}}}}$

segue la legge normale, con media 0 e varianza 1. Di conseguenza la variabile casuale

$t\;=\;{\frac {u}{\sqrt {\dfrac {X''}{N-1}}}}\;=\;{\frac {{\bar {x}}-E(x)}{\dfrac {s}{\sqrt {N}}}}$

(12.17)

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1. Per valori di $N\gtrsim 35$ la distribuzione di Student si può approssimare con la distribuzione normale a media 0 e varianza 1.