Teoria degli errori e fondamenti di statistica/12.2.4

by Maurizio Loreti

12.2.4 Un esempio: diffusione elastica protone-protone

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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12.2.4 Un esempio: diffusione elastica protone-protone

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Figura 12d - Urto elastico protone-protone.

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Nella figura 12d è schematicamente rappresentato un processo di urto elastico tra due particelle, una delle quali sia inizialmente ferma; dopo l’urto esse si muoveranno lungo traiettorie rettilinee ad angoli $\vartheta _{1}$ e $\vartheta _{2}$ rispetto alla direzione originale della particella urtante.

Gli angoli $\vartheta _{i}$ vengono misurati; supponendo che il processo di misura introduca errori che seguono la distribuzione normale ed abbiano una entità che (per semplificare le cose) assumiamo sia costante, nota ed indipendente dall’ampiezza dell’angolo, vogliamo verificare l’ipotesi che le due particelle coinvolte nel processo d’urto siano di massa uguale (ad esempio che siano entrambe dei protoni).

La prima cosa da fare è quella di ricavare dai dati misurati $\vartheta _{i}$, che per ipotesi hanno una funzione di frequenza

$f(\vartheta ;\vartheta ^{*},\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\vartheta -\vartheta ^{*}}{\sigma }}\right)^{2}}$

una stima dei valori veri $\vartheta ^{*}$. Il logaritmo della funzione di verosimiglianza è dato da

$\ln {\mathcal {L}}\;=\;-2\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\vartheta _{1}-\vartheta _{1}^{*}}{\sigma }}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\vartheta _{2}-\vartheta _{2}^{*}}{\sigma }}\right)^{2}$;

ma le variabili $\vartheta _{1}$ e $\vartheta _{2}$ non sono indipendenti, visto che il processo deve conservare sia energia che quantità di moto. Ammessa vera l’ipotesi che le due particelle abbiano uguale massa (e restando nel limite non-relativistico), le leggi di conservazione impongono il vincolo che l’angolo tra le due particelle dopo l’urto sia di 90° (o, in radianti, $\pi /2$); usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, la funzione da massimizzare è

$\varphi (\vartheta _{1}^{*},\vartheta _{2}^{*},\lambda )\;=\;-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\vartheta _{1}-\vartheta _{1}^{*}}{\sigma }}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\vartheta _{2}-\vartheta _{2}^{*}}{\sigma }}\right)^{2}+\lambda \left(\vartheta _{1}^{*}+\vartheta _{2}^{*}-{\frac {\pi }{2}}\right)$

e, annullando contemporaneamente le sue derivate rispetto alle tre variabili, si giunge al sistema

$\left\{{\begin{array}{cclcc}{\dfrac {\partial \varphi }{\partial \lambda }}&=&\vartheta _{1}^{*}+\vartheta _{2}^{*}-{\dfrac {\pi }{2}}&=&0\\[2.5ex]{\dfrac {\partial \varphi }{\partial \vartheta _{1}^{*}}}&=&{\dfrac {1}{\sigma ^{2}}}\left(\vartheta _{1}-\vartheta _{1}^{*}\right)+\lambda &=&0\\[2.5ex]{\dfrac {\partial \varphi }{\partial \vartheta _{2}^{*}}}&=&{\dfrac {1}{\sigma ^{2}}}\left(\vartheta _{2}-\vartheta _{2}^{*}\right)+\lambda &=&0\end{array}}\right.$

Eliminando $\lambda$ dalle ultime due equazioni otteniamo

$\vartheta _{1}-\vartheta _{1}^{*}\;=\;\vartheta _{2}-\vartheta _{2}^{*}$

e, sostituendo l’espressione per $\vartheta _{2}^{*}$ ricavata dalla prima equazione,

$\vartheta _{1}-\vartheta _{1}^{*}\;=\;\vartheta _{2}-\left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta _{1}^{*}\right)$

per cui le due stime di massima verosimiglianza sono

$\left\{{\begin{array}{ccl}{\hat {\vartheta }}_{1}^{*}&=&\vartheta _{1}+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\vartheta _{1}-\vartheta _{2}\right)\\[2.5ex]{\hat {\vartheta }}_{2}^{*}&=&\vartheta _{2}+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\vartheta _{1}-\vartheta _{2}\right)\end{array}}\right.$

Ammesso che queste soluzioni siano buone stime dei valori veri, la variabile casuale

$X\;=\;\left({\frac {\vartheta _{1}-\vartheta _{1}^{*}}{\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {\vartheta _{2}-\vartheta _{2}^{*}}{\sigma }}\right)^{2}\;=\;{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta _{1}-\vartheta _{2}\right)^{2}$

è distribuita come il $\chi ^{2}$ ad un grado di libertà (due contributi, un vincolo); ed il valore di $X$ confrontato con le tabelle del $\chi ^{2}$ può essere usato per la verifica dell’ipotesi.