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Capitolo 12 - La verifica delle ipotesi (I)

per cui le due stime di massima verosimiglianza sono

$\left\{{\begin{array}{ccl}{\hat {\vartheta }}_{1}^{*}&=&\vartheta _{1}+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\vartheta _{1}-\vartheta _{2}\right)\\[2.5ex]{\hat {\vartheta }}_{2}^{*}&=&\vartheta _{2}+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\vartheta _{1}-\vartheta _{2}\right)\end{array}}\right.$

Ammesso che queste soluzioni siano buone stime dei valori veri, la variabile casuale

$X\;=\;\left({\frac {\vartheta _{1}-\vartheta _{1}^{*}}{\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {\vartheta _{2}-\vartheta _{2}^{*}}{\sigma }}\right)^{2}\;=\;{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta _{1}-\vartheta _{2}\right)^{2}$

è distribuita come il $\chi ^{2}$ ad un grado di libertà (due contributi, un vincolo); ed il valore di $X$ confrontato con le tabelle del $\chi ^{2}$ può essere usato per la verifica dell’ipotesi.

12.3 Compatibilità con un valore prefissato

Un altro caso che frequentemente si presenta è il seguente: si vuole controllare se un determinato valore numerico, a priori attribuibile alla grandezza fisica in esame, è o non è confermato dai risultati della misura; cioè se quel valore è o non è compatibile con i nostri risultati — più precisamente, a che livello di probabilità (o, per usare la terminologia statistica, a che livello di confidenza) è con essi compatibile.

Ammettiamo che gli errori di misura seguano la legge normale; sappiamo che la probabilità per il risultato di cadere in un qualunque intervallo prefissato dell’asse reale si può calcolare integrando la funzione di Gauss fra gli estremi dell’intervallo stesso. Riferiamoci per comodità alla variabile scarto normalizzato

$t={\frac {x-E(x)}{\sigma }}$

che sappiamo già dal paragrafo 9.3 essere distribuita secondo una legge che è indipendente dall’entità degli errori di misura.

Se fissiamo arbitrariamente un numero positivo $\tau$, possiamo calcolare la probabilità che si verifichi l’evento casuale consistente nell’ottenere, in una particolare misura, un valore di $t$ che in modulo superi $\tau$; come esempio particolare, le condizioni$|t|>1$ o $|t|>2$ già sappiamo che si verificano con probabilità rispettivamente del 31.73% e del 4.55%, visto che l’intervallo $-1\leq t\leq 1$ corrisponde al 68.27% dell’area della curva normale, e quello $-2\leq t\leq 2$ al 95.45%.