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Capitolo 11 - Stime di parametri

11.4.5 Interpolazione non lineare

Formule analoghe a quelle trovate si possono ricavare per risolvere il problema dell’interpolazione di curve di ordine superiore al primo (parabole, cubiche, polinomiali in genere) ad un insieme di dati sperimentali, sempre usando il metodo della massima verosimiglianza.

Nel caso poi ci si trovasse di fronte ad una curva di equazione diversa da un polinomio, in parecchi casi è possibile linearizzare la relazione cambiando variabile: così, ad esempio, se due grandezze hanno tra loro una relazione di tipo esponenziale, il logaritmo naturale ne avrà una di tipo lineare:

$y=Ke^{-bx}$

$\Longleftrightarrow$

$\ln y=\ln K-bx\;=\;a-bx$.

11.5 Altre applicazioni della stima di massima verosimiglianza

Per concludere il capitolo, presentiamo altre tre applicazioni del metodo della massima verosimiglianza: la stima delle probabilità ignote di un insieme di modalità esclusive ed esaurienti cui può dar luogo un fenomeno casuale; la stima sia della media che della varianza di una popolazione normale; e la stima del range di una popolazione uniforme.

11.5.1 Stima di probabilità

Supponiamo che un fenomeno casuale possa dare origine ad un numero finito $M$ di eventualità, ognuna delle quali sia associata ad un valore $p_{i}$ ignoto della probabilità; se, eseguite $N$ prove indipendenti, indichiamo con $n_{i}$ la frequenza assoluta con cui ognuna delle $M$ eventualità si è presentata nel corso di esse, quale è la stima di massima verosimiglianza, ${\widehat {p}}_{i}$, per le incognite probabilità $p_{i}$?

La funzione di verosimiglianza è, visto che la generica delle $M$ eventualità, di probabilità $p_{i}$, si è presentata $n_{i}$ volte, data¹ da

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {n}};{\boldsymbol {p}})=\prod _{i=1}^{M}{p_{i}}^{n_{i}}$

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1. A meno di un fattore moltiplicativo costante, corrispondente al numero di modi in cui $N$ oggetti si possono ripartire tra $M$ gruppi in modo che ogni gruppo sia composto da $n_{i}$ oggetti; numero delle partizioni ordinate (vedi in proposito il paragrafo A.7).