Teoria degli errori e fondamenti di statistica/A.7

by Maurizio Loreti

A.7 Partizioni ordinate

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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A.7 Partizioni ordinate

Consideriamo un insieme di $N$ oggetti; vogliamo calcolare il numero di maniere in cui essi possono essere divisi in $M$ gruppi che siano composti da $N_{1},N_{2},\ldots ,N_{M}$ oggetti rispettivamente (essendo $N_{1}+N_{2}+\cdots +N_{M}=N$).

Gli $N_{1}$ oggetti che compongono il primo gruppo possono essere scelti in $C_{N_{1}}^{N}$ modi differenti; quelli del secondo gruppo in $C_{N_{2}}^{N-N_{1}}$ modi; e così via. Per il lemma fondamentale del calcolo combinatorio, il numero delle partizioni ordinate deve essere uguale a

${\binom {N}{N_{1}}}{\binom {N-N_{1}}{N_{2}}}{\binom {N-N_{1}-N_{2}}{N_{3}}}\cdots {\binom {N-N_{1}-\cdots -N_{M-1}}{N_{M}}}=$

$={\frac {N!}{N_{1}!\,(N-N_{1})!}}\cdot {\frac {(N-N_{1})!}{N_{2}!\,(N-N_{1}-N_{2})!}}\cdots {\frac {(N-N_{1}-\cdots -N_{M-1})!}{N_{M}!\,(N-N_{1}-\cdots -N_{M})!}}=$

$={\frac {N!}{N_{1}!\,N_{2}!\cdots N_{M}!}}$

(sfruttando il fatto che tutti i numeratori dei termini dal secondo in poi si semplificano con uno dei fattori del denominatore del termine precedente; inoltre, nell'ultimo termine, $N-N_{1}-\cdots -N_{M}\equiv 0$). Si può notare che l'ultimo termine della prima espressione, essendo $N-N_{1}-\cdots -N_{M-1}=N_{M}$, vale sempre uno; cosa non sorprendente visto che, quando i primi $M-1$ gruppi sono stati scelti, anche l'ultimo risulta univocamente determinato.

Insomma il numero delle partizioni ordinate è uguale al numero delle permutazioni con ripetizione di $N$ oggetti raggruppabili in $M$ insiemi, composti rispettivamente da $N_{1},N_{2},\ldots ,N_{M}$ oggetti indistinguibili tra loro, dato dalla formula (A.2)