Teoria degli errori e fondamenti di statistica/10.1

10.1 Risultato della misura

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10 10.2

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10.1 Risultato della misura

Innanzi tutto, è chiaro che il valore vero della grandezza F è quello che corrisponde ai valori veri delle variabili indipendenti da cui F dipende:

. (10.1)
[p. 162 modifica]Non avendo però a disposizione tali valori veri, tutto quello che possiamo fare è usare le migliori stime di cui disponiamo: cioè, supponiamo, i valori medi di campioni di determinazioni ripetute di tutte queste grandezze; insomma, calcolare il valore assunto dalla funzione in corrispondenza dei valori delle variabili.

Ricordiamo che il valore di una funzione di più variabili F in un qualsiasi punto si può ricavare dal valore assunto dalla F e dalle sue derivate successive in un punto diverso, attraverso la formula dello sviluppo in serie di Taylor:

(ordine zero)
(primo ordine)
(secondo ordine)

(in cui per brevità si è omesso di indicare che le derivate parziali vanno calcolate per i valori delle variabili , e così via).

Se è possibile trascurare i termini di ordine superiore al primo, possiamo in particolare ricavare:

.

Prendendo poi il valore medio di entrambi i membri e tenendo presente nei passaggi sia la (10.1), sia che risulta in assenza di errori sistematici (e similmente per le altre variabili), si ottiene

cioè

e, in definitiva:

In media, il valore di una funzione F calcolato per le medie misurate delle variabili coincide col valore vero. [p. 163 modifica](ossia è una stima imparziale di ).

Ricordiamo che questa conclusione è valida solo approssimativamente, perché nello sviluppo in serie di Taylor abbiamo trascurato tutti i termini di ordine superiore al primo; ma quali sono i limiti della validità della conclusione? In quali casi si possono cioè effettivamente considerare trascurabili i termini del second’ordine e degli ordini superiori?

Ognuno dei termini di ordine i nello sviluppo di F contiene una delle derivate i-esime della funzione, moltiplicata per un fattore del tipo elevato alla i-esima potenza e divisa per il fattoriale di i; sarà senz’altro lecito trascurare questi termini se le differenze tra i valori medi stimati per le variabili indipendenti ed i loro valori veri sono piccole, in altre parole se gli errori commessi nelle misure dirette sono piccoli.

Un caso particolare è poi quello in cui la F è una funzione lineare in ognuna delle variabili da cui dipende; in questo caso, ovviamente, tutte le derivate di ordine successivo al primo sono identicamente nulle, e le conclusioni precedenti sono valide esattamente.