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10.2 - Combinazioni lineari di misure dirette

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(ossia ${\bar {F}}$ è una stima imparziale di $F^{*}$).

Ricordiamo che questa conclusione è valida solo approssimativamente, perché nello sviluppo in serie di Taylor abbiamo trascurato tutti i termini di ordine superiore al primo; ma quali sono i limiti della validità della conclusione? In quali casi si possono cioè effettivamente considerare trascurabili i termini del second’ordine e degli ordini superiori?

Ognuno dei termini di ordine i nello sviluppo di F contiene una delle derivate i-esime della funzione, moltiplicata per un fattore del tipo $({\bar {x}}-x^{*})$ elevato alla i-esima potenza e divisa per il fattoriale di i; sarà senz’altro lecito trascurare questi termini se le differenze tra i valori medi stimati per le variabili indipendenti ed i loro valori veri sono piccole, in altre parole se gli errori commessi nelle misure dirette sono piccoli.

Un caso particolare è poi quello in cui la F è una funzione lineare in ognuna delle variabili da cui dipende; in questo caso, ovviamente, tutte le derivate di ordine successivo al primo sono identicamente nulle, e le conclusioni precedenti sono valide esattamente.

10.2 Combinazioni lineari di misure dirette

Supponiamo che le misure dirette delle variabili indipendenti da cui dipende la F siano esenti da errori sistematici, e che siano pertanto distribuite secondo la legge normale; consideriamo dapprima quelle particolari funzioni che sono le combinazioni lineari di più variabili:

$F=k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+k_{3}x_{3}+\ldots =\sum \nolimits _{i}k_{i}x_{i}$.

Abbiamo già visto, nell’equazione (5.2) a pagina 51, che il valore medio di una tale funzione è la combinazione lineare, con gli stessi coefficienti, delle medie delle variabili; e, se supponiamo inoltre che le variabili siano tutte statisticamente indipendenti tra loro, sappiamo anche che la varianza di F è poi data (equazione (5.5) a pagina 54) dalla combinazione lineare delle loro varianze con coefficienti pari ai quadrati dei rispettivi coefficienti:

$E(F)=\sum \nolimits _{i}k_{i}E(x_{i})=\sum \nolimits _{i}k_{i}x_{i}^{*}\equiv F^{*}$

e

$\sigma _{F}^{2}=\sum \nolimits _{i}k_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}~$.

Abbiamo inoltre dimostrato, a pagina 103, un teorema secondo il quale una qualsiasi combinazione lineare a coefficienti costanti di variabili casuali