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Capitolo 10 - Le misure indirette

Non avendo però a disposizione tali valori veri, tutto quello che possiamo fare è usare le migliori stime di cui disponiamo: cioè, supponiamo, i valori medi di campioni di determinazioni ripetute di tutte queste grandezze; insomma, calcolare il valore ${\bar {F}}$ assunto dalla funzione in corrispondenza dei valori ${\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}},\ldots$ delle variabili.

Ricordiamo che il valore di una funzione di più variabili F in un qualsiasi punto si può ricavare dal valore assunto dalla F e dalle sue derivate successive in un punto diverso, attraverso la formula dello sviluppo in serie di Taylor:

$F(x,y,z,\ldots )$	$=F(x_{0},y_{0},z_{0},\ldots )+$	(ordine zero)
	$+{\frac {\partial F}{\partial x}}(x-x_{0})+{\frac {\partial F}{\partial y}}(y-y_{0})+\ldots$	(primo ordine)
	$+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2!}}+\ldots$	(secondo ordine)
	$+{\mathcal {O}}(3)$

(in cui per brevità si è omesso di indicare che le derivate parziali vanno calcolate per i valori delle variabili $x=x_{0}$, $y=y_{0}$ e così via).

Se è possibile trascurare i termini di ordine superiore al primo, possiamo in particolare ricavare:

${\bar {F}}$	$=F({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}},\ldots )$
	$\approx F(x^{*},y^{*},z^{*},\ldots )+{\frac {\partial F}{\partial x}}({\bar {x}}-x^{*})+{\frac {\partial F}{\partial y}}({\bar {y}}-y^{*})+\ldots ~~$.

Prendendo poi il valore medio di entrambi i membri e tenendo presente nei passaggi sia la (10.1), sia che risulta $E({\bar {x}}-x^{*})=E({\bar {x}})-x^{*}\equiv 0$ in assenza di errori sistematici (e similmente per le altre variabili), si ottiene

$E\left\{F({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}},\ldots )\right\}$	$\approx F^{*}+{\frac {\partial F}{\partial x}}E({\bar {x}}-x^{*})+{\frac {\partial F}{\partial y}}E({\bar {y}}-y^{*})+\ldots$
	$=F^{*}$

cioè

$E({\bar {F}})\approx F^{*}$

e, in definitiva:

In media, il valore di una funzione F calcolato per le medie misurate delle variabili coincide col valore vero.