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19.
SULLE SUPERFICIE DI SECOND’ORDINE OMOFOCALI.
Chasles. Résumé d’une théorie des surfaces du second ordre homofocales. Comptes Rendus, 1860, n. 24 et 25.
Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo III (1860), pp. 241-244.
In una memoria inserita in questi Annali di matematica (marzo ed aprile 1859), io ho studiato la distribuzione de’ centri d’un sistema di superficie di second’ordine inscritte in una stessa sviluppabile (reale o immaginaria) ed aventi il comune tetraedro polare reale. Ivi ho dimostrato che le quattro coniche, linee di stringimento della sviluppabile, o son tutte reali, ovvero due sono reali e due immaginarie.
Assumo tre de’ quattro piani costituenti il tetraedro polare, come piani coordinati, e suppongo che il quarto piano sia tutto a distanza infinita. Siano t : u : v : w le coordinate tangenziali (di Plücher) di un piano qualsivoglia, cioe siano
, ,
i segmenti da esso determinati sugli assi. Allora, come risulta dalla citata memoria, una superficie qualunque del sistema sarà rappresentabile coll’equazione:
| 1) |
(b — c + iα)t2 + (c — a + iβ)u2 + (a — b + iγ)v2 + (α + β + γ)w2 = 0
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ove i è il parametro variabile che serve ad individuare ciascuna superficie del sistema, ed a, b, c, α, β, γ sono quantità costanti legate fra loro dall’unica condizione:
| 2) |
aα + bβ + cγ = 0.
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Ponendo nella (1) successivamente i = ∞, , , si ottengono le quattro
