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sulle superficie di second’ordine omofocali.

coniche di stringimento:

3)	${\begin{cases}\alpha t^{2}&+\beta u^{2}&+\gamma v^{2}&*&=0\\*&cu^{2}&-bv^{2}&+\alpha w^{2}&=0\\-ct^{2}&*&+av^{2}&+\beta w^{2}&=0\\bt^{2}&-au^{2}&*&+\gamma w^{w}&=0\end{cases}}$

la prima delle quali è tutta all’infinito.

La forma dell’equazione (1) mostra che tutte le superficie del sistema hanno il centro all’origine, e che per esse i piani coordinati costituiscono una comune terna di piani diametrali coniugati.

Si supponga la prima conica immaginaria cioè α, β, γ abbiano lo stesso segno, ed invero, com’è lecito supporre, positivo. In virtù della (2), le a, b, c non potranno esser tutte positive, nè tutte negative; perciò, delle altre tre coniche, una è immaginaria e le altre due sono reali ma di specie diversa: un’ellisse ed un’iperbole.

Esprimiamo ora le condizioni che la prima conica sia circolare. La sfera di raggio = 1 e col centro all’origine è rappresentata dall’equazione:

t² sen² λ + u² sen² μ +v² sen² ν — 2uv (cos λ — cos μ cos ν)
— 2vt (cos μ — cos ν cos λ) — 2tu (cos ν — cos λ cos μ)
= w² (1 — cos² λ — cos² μ — cos² ν + 2 cos λ cos μ cos ν),

ove λ, μ, ν sono gli angoli fra gli assi coordinati. Ora, il cerchio immaginario all’infinito è la linea dell’ideale contatto fra la sfera ed il suo cono assintotico; onde, facendo w = 0 nell’equazione precedente, avremo l’equazione del cerchio immaginario richiesto.

Affinchè l’equazione risultante coincida colla prima delle (3) dev’essere:

cos λ = cos μ = cos ν = 0,

cioè i piani diametrali comuni alle superficie (1) devono essere i loro piani principali; ed inoltre:

α = β = γ.

Posto, com’è lecito, α = 1, l’equazione (1) diviene:

(b — c + i)t² + (c — a + i)u² + (a — b + i)v² + 3w² = 0.

I quadrati de’ semiassi di questa superficie sono:

${\frac {c-b-i}{3}},{\frac {a-c-i}{3}},{\frac {b-a-i}{3}};$