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sulle superficie di second’ordine omofocali.

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quindi le superficie inscritte in una sviluppabile (immaginaria) per la quale il cerchio immaginario all’infinito sia una linea di stringimento, sono omofocali. E reciprocamente, le superficie omofocali si ponno risguardare come inscritte in una sviluppabile immaginaria tagliata dal piano all’infinito secondo il cerchio immaginario, cioè secondo la linea di contatto fra una sfera arbitraria ed il suo cono assintotico.

Di qui segue che se U = 0 è l’equazione, in coordinate tangenziali, di una superficie di second’ordine, riferita ad assi qualsivogliano, l’equazione generale delle superficie omofocali ad essa sarà:

U + iS = 0

ove:

S = t² sen² λ + u² sen μ + v² sen ν — 2 uv (cos λ — cos μ cos ν)
— 2 vt (cos μ — cos ν cos λ) — 2 tu (cos ν — cos λ cos μ)

(λ, μ, ν angoli fra gli assi).

Questo risultato analitico, esprimente il suenunciato teorema sulle superficie omofocali, teorema che è stato dato la prima volta dall’illustre Chasles nel suo Aperçu historique (nota 31ª), ci pone in grado di dare semplicissime dimostrazioni de’ quattro teoremi generali recentemente dati dal medesimo autore nei Comptes rendus (11 giugno 1860), come fondamento di una teoria delle superficie medesime.

Sia:

A = F + iS,     A’ = F + iS,

B = A + θU,     B’ = A’ + θ’U;

ne segue:

θ’B — θB’ = (θ’ — θ)F + (θ’i — θi’)S,

e:

B — B’ = (θ’ — θ)U + (i — i’)S

cioè:

“Date due superficie omofocali A, A’ ed un’altra superficie qualunque U, se nelle due sviluppabili (UA), (UA’) si inscrivono rispettivamente due superficie qualsivogliano B, B’; la sviluppabile (BB’) sarà simultaneamente circoscritta ad una superficie omofocale ad A, A’ e ad un’altra superficie omofocale ad U„.

Posto:

A’ = A + θS,     B = A + ωU,

si ha:

A’ + ωU = B + θS;