Matematiche Fascicolo quarto/Tema quarto - Capitolo I
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TEMA QUARTO
§. I.
1. Sebbene si possano, come abbiamo veduto nel precedente Tema, praticare nel senso ivi definito (§. II) sù i numeri rotti, o sulle frazioni di qualunque specie le medesime operazioni, dirette ed inverse, di quelle, che rapporto ai numeri intieri si sono chiamate cogli stessi nomi, ciononostante, nel caso specialmente dell’Addizione e della Sottrazione di più frazioni di specie diversa trà loro, la necessità di ridurle prima alla specie medesima, ossia al medesimo denominatore, c’impegna quasi sempre in un calcolo accessorio, che riesce alquanto imbarazzante, e nuoce alla semplicità de’ resultati.
Per evitare un tale inconveniente, e rendere le operazioni spedite quanto è mai possibile, nell’uso, che dobbiamo far delle frazioni, si è sentito il bisogno di preferir quella specie, che fosse la più atta a soddisfare alle due seguenti condizioni, cioè
1.ª Che la loro riduzione al medesimo denominatore si facesse con facilità estrema, e nello stesso tempo egli resultasse il più piccolo possibile (Tema prec. §. I. num. 9.)
2.ª Che le operazioni da farsi poi sulle trasformate si eseguissero in un modo analogo a quello praticato su i numeri intieri, e dipendente dal nostro Sistema di Numerazione fin da principio stabilito (Temi primo e secondo, §§. II).
Alla prima di queste condizioni soddisfanno mirabilmente quelle frazioni, i numeratori delle quali essendo numeri intieri qualunque, i denominatori sono precisamente la unità seguìta da uno o più zeri, giacchè allora collo scriver soltanto degli zeri di seguito al denominatore di una frazione, che lo avesse più piccolo, ed altrettanti al numeratore, si ha una trasformata equivalente del denominatore medesimo di un’altra, che lo avesse più grande.
Alla seconda condizione poi si soddisfarebbe col sopprimer nelle nuove frazioni il denominatore comune, purchè ciascun nuovo numeratore si riferisse mentalmente ad un altro numero sottinteso, che fosse il quoziente del primitivo diviso pel denominatore soppresso.
Così delle due frazioni per es. , la prima si riduce immediatamente al medesimo denominatore della seconda scrivendo di seguito a’ suoi termini due zeri soltanto; e sopprimendo poi il denominatore comune ad ambedue 1000, non si avrebbe, che a considerare i due numeratori 700, 117.
Quindi è, che in seguito preferiremo sempre nelle applicazioni, che ne faremo, coteste frazioni a quelle di ogni altra specie.
2. Ma volendo conservar sempre intatto il numero sottinteso, e nello stesso tempo risparmiarci anco la riduzione delle nostre frazioni al medesimo denominatore, noi adotteremo alcune convenzioni per scriverle in un altro modo, anche più conciso.
A quest’oggetto riflettendo, che collo scrivere a destra di una cifra significativa, per esempio 1, uno, due, trè, ... zeri si hanno l’espressioni o caratteristiche 10, 100, 1000, ..., il valor delle quali è dieci, cento, mille, ... volte respettivamente maggiore di quello di 1, si può in primo luogo convenire, che per rappresentare l’espressioni inverse, ossia le frazioni , , , ..., il valor delle quali è al contrario dieci, cento, mille, ... volte respettivamente minore di quello della medesima cifra 1, debbasi scrivere uno, due, trè, ... zeri non più a destra, ma a sinistra di lei. Allora per rappresentare in altro modo codeste frazioni avremo le caratteristiche inverse 01, 001, 0001, ..., che sono i respettivi loro denominatori scritti alla rovescia.
Ma per non confondere il valore di tali caratteristiche con quello della stessa cifra 1, che per le convenzioni in addietro stabilite (Tema primo, pag. 25) dovrebbe esser pur lo stesso, noi aggiungeremo loro un segno di distinzione.
Osservando, che con cotesto modo di scrivere si vuole, che la cifra 1 acquisti un valore dieci in dieci volte più piccolo, a misura ch’è scritta un posto più lontana a destra dal primo zero, così marcando questo zero, per esempio con una virgola in fianco, si può in secondo luogo convenire, che l’ultima cifra 1 nelle nuove caratteristiche abbia un valore dieci, cento, mille volte minore, secondochè vi occupa respettivamente il primo, secondo, terzo,.. posto dopo cotesto zero marcato.
Così a preferenza delle caratteristiche precedenti scriveremo queste altre 0,1; 0,01; 0,001;.. le quali perciò si leggeranno respettivamente un-decimo, un-centesimo, un-millesimo,.. come le frazioni ch’esse rappresentano.
Ciò, che abbiamo detto per rapporto alla cifra elementare 1, referendosi a qualunque altra cifra significativa, che servisse essa sola di numeratore ad una delle nostre frazioni, in luogo per esempio delle trè frazioni si potranno respettivamente scrivere le trè caratteristiche 0,3; 0,07; 0,009, le quali si leggeranno pare trè-decimi, sette-centesimi, nove-millesimi respettivamente.
Se per conformarci all’uso, piuttostochè in fianco al primo zero, si scrive una virgola tramezzo a lui, e le altre cifre, che seguono a destra, qualunque esse siano, e si conviene, che ciascuna di queste esprima de’ decimi, de’ centesimi, de’ millesimi,... secondochè occupa dopo una tal virgola il primo, secondo, terzo,.. posto respettivamente, la caratteristica per esempio 0,379 potrà servire a denotare il complesso, o la somma delle trè frazioni precedenti, ossia la frazione unica (Tema prec. pag. 44); e perciò cotesta caratteristica si leggerà trecento settantanove-millesimi.
In generale una qualunque delle nostre frazioni, che sia propria, e che abbia al numeratore tante cifre, quanti zeri hà il denominatore, secondo le nostre convenzioni si rappresenterà scrivendo coteste stesse cifre soltanto, ma con uno zero di più a sinistra separato da una virgola; e la caratteristica resultante si enuncierà, o leggerà, come si legge cotesta frazione.
Nel caso particolare, che le cifre del numeratore in una delle nostre frazioni fossero meno degli zeri del denominatore, allora scrivendo loro a sinistra tanti zeri, quanti bastano, ciocchè si può (Tema primo, pag. 25), il nuovo numeratore con un’altro zero a sinistra, separato da una virgola, rappresenterebbe allora la frazione proposta.
Così in luogo per esempio delle trè frazioni , , , scrivendosi queste altre , , , si avranno le trè caratteristiche 0,07; 0,0057; 0,000701, le quali si enuncieranno respettivamente sette-centesimi, cinquantasette-diecimillesimi, settecentuno-millionesimi.
Convenendo pertanto, che «scritto uno zero ed una virgola a destra, le cifre significative scrittegli dopo abbiamo un valore dieci in dieci volte minore del loro assoluto, a misura che occupano un posto da lei più lontano» noi possiamo rappresentare sotto forma di numero intiero una qualunque delle nostre frazioni proprie, e ciò collo scriver soltanto il suo numeratore, completato, se abbisogna, a sinistra da tanti zeri, quante cifre hà di più il denominatore, e poi separando il primo di questi zeri a sinistra con una virgola.
Nel caso, che qualcheduna delle nostre frazioni fosse impropria, se si osserva, che, separando nel di lei numeratore con una virgola tante cifre a destra, quanti sono gli zeri del suo denominatore, essa si può riguardare come la somma di due frazioni del denominatore stesso, una delle quali abbia per numeratore coteste cifre separate, e l’altra altrettanti zeri seguiti a sinistra dalle cifre restanti (Tema prec. pag. 43), è facil rilevare che cotesta frazione impropria si comporrà del numero intiero soltanto espresso dalle cifre a sinistra della virgola del suo numeratore, e di una frazione dello stesso denominatore, il numeratore della quale siano le altre cifre separate a destra.
Se dunque si conviene, che la cifra del numeratore immediatamente a sinistra della virgola, nelle ipotesi che sia significativa, esprima delle unità semplici, mentre quelle, che seguono a sinistra di lei esprimono successivamente delle diecine, centinaja, migliaja,.., e che le altre, che seguono a destra dopo la virgola, esprimono successivamente de’ decimi, centesimi, millesimi,.., si conclude, che cotesto numeratore colle cifre separate come si è detto, basterà per se stesso soltanto a rappresentare la nostra frazione impropria.
In questa guisa alla frazione per esempio si potrà sostituire la semplice caratteristica 15,3, la quale perciò si leggerà centocinquantatrè-decimi, oppure quindici-intieri e trè-decimi.
Le convenzioni pertanto sin quì fatte per scrivere sotto forma di numero intiero una qualunque delle nostre frazioni, propria od impropria che sia, si riducono alla unica seguente, cioè «Che proposto un numero intiero qualunque, completandolo o nò a sinistra da uno o più zeri, e seperandovi ovunque a piacere le cifre trà loro con una virgola, il sistema di quelle, che restano a sinistra, se ve ne sono delle significative, esprima un numero intiero di unità semplici, ed il sistema di quelle, tutte od in parte significative, che restano a destra, sia il numeratore di una frazione, il denominator della quale si sottintenda essere la unità seguìta da altrettanti zeri»
Siccome una tal convenzione porta, che il valor locale di una cifra significativa sia il decimo di quello, che avrebbe, se occupasse il posto della cifra immediatamente a sinistra, si vede, che essa non serve, che a completare il nostro sistema di Numerazione fin da principio stabilito (Tema primo, pag. 14), estendendolo da sinistra verso destra, e che dicesi Sistema decimale; perciò alle frazioni, o numeri precedenti si dà il nome di Frazioni, o Numeri decimali, mentre le frazioni di ogni altra specie diconsi Frazioni ordinarie.
Del resto profittando dell’avvertenza in addietro fatta (Tema prec. pag. 44) cioè che una frazione di qualunque specie si può riguardare come resultante dall’addizione di più frazioni parziali, tutte dello stesso suo denominatore, i respettivi numeratori delle quali siano ciascuna cifra significativa del suo numeratore, seguita respettivamente da tanti zeri, quante cifre essa vi ha dopo di se, ed osservando, che nel nostro caso nei due termini di ciascuna di queste frazioni si può sopprimere uno, due, trè,..zeri, era ben facil rilevare, come una frazione decimale colla convenzione fatta potea rappresentarsi sotto la forma di numero intiero.
Un numero decimale, il quale contenga degl’intieri, essendo spurio od improprio, ogni altro sarà genuino o proprio, e questo potrassi dire semplicemente decimale; mentre poi in quello la cifra immediatamente a sinistra della virgola può dirsi del primo ordine assoluto, le cifre che nell’uno o nell’altro gli succedono verso sinistra, o verso destra, potranno dirsi del secondo, terzo,... ordine relativo superiore od inferiore respettivamente.
Sarà bene l’esercitarsi a leggere od enunciare dei numeri decimali scritti, ed a scrivere degli enunciati di numeri decimali, ed anche a convertirli sotto forma di frazioni ordinarie.
3. In conseguenza delle convenzioni precedentemente fatte è facil persuadersi, che un numero decimale qualunque gode delle due seguenti proprietà principali.
1.a Che, scrivendogli di seguito a destra, egualmentechè a sinistra, quanti mai zeri si vogliono, o sopprimendovi i finali, se vi sono, esso non muta mai valore.
2.a Che, tenendo fisse le cifre, e mobilizzando, per così dire, la virgola di uno, due, trè,... posti verso destra, o verso sinistra, esso acquista un valore dieci, cento, mille,... volte respettivamente maggiore o minore, ossia si moltiplica o si divide respettivamente per 10, 100, 1000,...
Per la prima di queste proprietà ad un decimale, che avesse dopo la virgola meno cifre di un’altro, potendosene dare lo stesso numero, si dice, che si completa per ridurlo al medesimo denominatore del secondo; onde si conclude, che di due decimali di più o meno cifre avrà un valor più piccolo soltanto quello, che avrà il primo una cifra più piccola della corrispondente del medesimo ordine nell’altro, sebbene questo possa avere meno cifre.
Così i valori di 0,54321...; 0,00078...; 0,6839... saranno respettivamente più piccoli di quelli di 0,7..; 0,001..; 0,684..
Si avverte, che i punti scritti di seguito a ciascun decimale stannovi a denotare quali e quante altre mai cifre si vogliano.
Del resto per la stessa prima proprietà ad un numero intiero si può dar l’aspetto di numero decimale, scrivendogli di seguito a destra quanti mai si voglian zeri, separati da lui con una virgola.
Così in luogo per es. di 2 si può scrivere 2,000...
4. Venendo adesso alle operazioni sulle frazioni decimali, ridotte, come abbiam fatto alla forma di numeri intieri, noi diciamo primieramente, che in quanto alla pratica esse si eseguiranno, come sù i numeri intieri; in quanto poi all’oggetto di farle, come si deve, nel medesimo senso, che sulle frazioni ordinarie in generale (Tema prec. §. II), occorreranno soltanto, come andiamo a vedere, alcune poche avvertenze intorno alla posizione della virgola nei resultati, che nei diversi Casi si otterranno.
Entrando pertanto succintamente in materia sù questo proposito, e distinguendo al solito tanto le Operazioni dirette, che le inverse, in trè Casi, cominceremo dal