Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 38

Capitolo 6 - Un altro limite fondamentale

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§ 38. — Un altro limite fondamentale.


α) Se un punto si muove sopra una retta sempre nello stesso verso, p. es., verso destra, è ben chiaro che possono presentarsi solo due casi:

1° Il punto finisce con l'allontanarsi indefinitamente a destra.

Oppure

2° Esiste un punto , che il punto non supera, pure avvicinandosi ad esso indefinitamente. Così, p. es., se il punto ha una velocità costante, si presenterà evidentemente il primo caso. Se invece nel primo minuto percorre cm. 1, nel secondo cm. , nel terzo cm. , nel quarto cm. , nello minuto cm. , esso dopo nminuti avrà percorso

cm. .

Il punto non sarà perciò mai riuscito ad allontanarsi al di là di quel punto , che ha una distanza di cm. dal punto di partenza, pure diventando (al crescere di ) la distanza di piccola a piacere. [p. 124 modifica]Questa osservazione rende intuitivo il teorema che dobbiamo ora esporre.

Si dice che una funzione reale è crescente, se essa cresce al crescere della , o più precisamente, se, indicati con due punti qualsiasi del gruppo G ove la è definita tali che , si ha .

La y si dice decrescente, se invece dalla segue , ossia se la y decresce al crescere della (come p. ed., avviene se y è inversamente proporzionale ad .

La si dice non crescente, oppure non decrescente se dalla , segue , oppure .

Se una funzione non è crescente, o non è decrescente in un dato gruppo G di punti, si dice che la funzione varia sempre nello stesso verso (senso) nel gruppo G.

Teor. Se f(x) è una funzione definita nel gruppo G, che varia sempre nello steso verso e se in ogni intorno (p. es. sinistro) del punto xa esistono punti di G distinti da a, esiste il f(x).

Supponiamo per fissar le idee che non sia decrescente a sinistra del punto a e che si voglia dimostrare l'esistenza del . noi dimostreremo che tale limite è precisamente il limite superiore L dei valori che f(x) assume, quando x assume i valori di G più piccoli (a sinistra) di a.

Distinguiamo due casi:

L è finito. Sia n un intero così grande che sia minore di un ε prefissato. Trai citati valori di ne esisterà almeno uno (p. es. quello assunto da nel punto ) che è uguale ad fino alla decimale (e ciò per la stessa definizione di limite superiore). I valori che y assume nei punti G dell'intervallo (c, a) non possono nè superare il limite superiore L, nè essere inferiori a (perchè y è per ipotesi funzione non decrescente).

Dunque tali valori (compresi tra ) dovranno pure coincidere con L fino alla decimale.

In altre parole nei punti di dell'intervallo vale la:

.


Per definizione di limite è dunque

.

[p. 125 modifica] è infinito. Questo caso, assai meno importante, si potrebbe ricondurre al caso precedente con lo studio della funzione . Per studiarlo direttamente si osservi che, se è un numero arbitrario, esiste un punto , ove 1. In tutto l'intervallo () sarà dunque , perchè non è decrescente. Pertanto

.


Così, p. es., l'area del poligono regolare di lati inscritto in un cerchio è una funzione crescente di , che ha per limite per proppio l'area di .

β) Applicheremo questo teorema allo studio di un limite fondamentale. Dalla formola del binomio si trae che, se è un intero positivo, allora:


donde, osservando che i numeratori degli addendi terzo, quarto, ecc., non superano lìunità, e che i denominatori sono , ecc., si trae che per è:

.

2

D'altra parte il () termine del terzo membro della penultima formola cresce al crescere della ; di più il numero stesso dei termini (che è cresce con .

Quindi cresce al crescere di ; e perciò, per il precedente teorema, tende per a un limite ; e, poichè per l'ultima delle precedenti formole, è )per ogni valore dell'intero [p. 126 modifica] , sarà pure ; donde in particolare si trae che è un numero finito positivo. Io dico che

,


anche se non è intero. Infatti, se è compreso tra gli interi , è


E, poichè il limite del primo e del terzo membro sono rispettivamente

,

,


ossia sono uguali ad , anche (§ 37, α, p. 121) il .

Io dico infine che anche .

Infatti, posto , è:

.


E perciò:

. . c.d.d.

γ) Dalla , che vale dunque, sia positivo o negativo, razionale o irrazionale, si trae3, supposto ,

,


ossia, posto . [p. 127 modifica]Se si pone , e quindi , se ne deduce:

, donde .

Se esponiamo si trova:

; .


Dalla prima riga di queste formole si vede quanto semplice diventi il , appena si assuma il numero e come base di un sistema di logaritmi. Poichè questo limite si presenta continuamente nel calcolo, noi adotteremo d'ora in poi (salvo esplicita dichiarazione in contrario) questo numero e come base del sistema di logaritmi. I logaritmi così ottenuti si diranno neperiani, iperbolici, naturali.

Per uno studio geometrico dei limiti precedenti di vegga l'esempio terzo.


Esempi.


Dimostrare che .

Ris. Posto , si noti che

.


Se il capitale c è impiegato al tasso r (rapporto dell'interesse al capitale), esso, dopo un anno, diventa . Ma se il tasso è pagato per metà ad ogni semestre, il capitale dopo il 1° semestre è diventato ; e se tutta questa somma viene impiegata allo stesso tatto per il 2° semestre, si avrà alla fine dell'anno una somma . In generale se ad ogni parte dell'anno viene pagata la parte dell'interesse, che viene anch'essa impiegata allo stesso tasso per la residua parte dell'anno, il capitale c, dopo un anno, è [p. 128 modifica]diventato 4. Quando n diventa grandissimo (per ), questa espressione tende a . Si suol dire che un capitale c impiegato ad interesse continuo al tasso r diventa dopo un anno. Così, p. es., si calcola che . Impiegare per un anno un capitale all'interesse continuo del equivale a impiegarlo all'interesse del .

Dunque rappresenta la somma ottenuta impiegando per un anno un capitale all'interesse continuo del . Che, se z è piccolo, sia prossimo ad , è evidente, perchè se il tasso è piccolo, interesse semplice r e continuo quasi si equivalgono, ecc.


Fig. 11.

Consideriamo un'iperbole equilatera (fig. 11). Siano due punti dell'asse delle ascisse di ascisse . Dividiamo l'intervallo in n parti coi punti in guisa che i segmenti siano in progressione geometrica. Questi segmenti saranno così uguali ordinatamente ad , dove . Le ordinate dei punti corrispondenti dell'iperbole saranno .

Quindi le aree dei rettangoli aventi per base i segmenti e per altezza le ordinate dell'estremo , [p. 129 modifica]cioè saranno tutte uguali a . La loro somma è perciò .

In modo simile si prova che la somma delle aree dei rettangoli aventi per base gli stessi segmenti e per altezza l'ordinata del corrispondente estremo dentro è .

Si ha così, posto ,

donde

                     donde .

Il limite inferiore delle e il limite superiore delle coincidono dunque, e sono uguali a . Dunque la figura α racchiusa tra il segmento , le ordinate di e la porzione corrispondente di iperbole equilatera ha un area che vale precisamente 5.

Se noi rappresentiamo la nostra figura in scala un po' grande su carta millimetrata divisa in quadretti molto piccoli, si può avere un metodo approssimato per calcolare , misurando l'area : cioè contando quanti dei quadretti in cui è diviso il nostro foglio millimetrato sono contenuti in .

4° Sia una funzione di , che tende ad un limite finito , p. es., per . Come si può calcolare approssimativamente questo limite? È ben evidente che si può considerare come un valore approssimato di L, e che l'approssimazione sarà generalmente tanto migliore, quanto più grande si suppone ; o meglio, e più precisamente, che, prendendo abbastanza grande, si potrà rendere piccolo a piacere l'errore che si commette quando si supponga .

Ma simile considerazione ha un valore scarso, se per ogni valore della non si può dare un misura del grado di [p. 130 modifica]approssimazione raggiunto. Ora questo è possibile in molti casi. Per es., dall'esercizio 3° si deduce, posto , che la quantità

(1)                              

è compresa, per ogni valore di n, tra

e .


Cosicchè, se si pone , l'errore commesso non supera

.


La (1) però così servire al calcolo approssimativo dei logaritmi iperbolici. Se ne ricava, per es., posto che , con un errore non superiore a . Poichè però calcolare la equivale a estrarre successivamente quattro radici quadrate, questo metodo di calcolare i logaritmi neperiani è troppo poco rapido.

Note

  1. Questa affermazione è sconseguenza dell'impotesi
  2. Infatti .
  3. Basta ricordare che è funzione continua nei punti .
  4. Resta perciò intuitivo il teorema dimostrato nel testo che per (anzi per ogni ), il numero \left(1+\frac{r}{n}\right)^n</math> cresce al crescere di n; infatti un impiego di capitale è tanto più redditizio, quanto maggiore è il numero n delle volte che in un anno (a ugual intervallo l'una dall'altra) si pagano gli interessi maturati.
  5. Infatti i rettangoli considerati, le cui aree hanno per somma formano un poligono, che contiene la figura all'interno (che è interno alla figura ) (cfr. § 7).