Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 37

Capitolo 6 - Un limite fondamentale

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§ 37. - Un limite fondamentale.


α) È ben evidente che, se due punti si avvicinano indefinitamente nello stesso tempo ad uno stesso punto , un punto , il quale sia sempre compreso nell'intervallo dovraà pure tendere ad . Questa osservazione rende intuitivo il

Teor. Se, sono tre funzioni reali della x definite in uno stesso gruppo G, se per ogni valore di x in G la y è compresa tra ed ( oppure ), e se , anche .

Supponiamo, p. es., numero finito. Come al § 35 si dimostra che, dato un numero ε>0 piccolo a piacere, esiste un intorno α di a, in cui valgono entrambe le . Poichè y è compreso tra , sarà in anche . Ne segue quindi che, dato piccolo a piacere, esiste un intorno di a, in cui vale la . Perciò sarà .

Il lettore troverà un utile esercizio, completando questa dimostrazione per il caso .

β) Applicheremo ora questo teorema alla dimostrazione della

.


Per una retta interpretazione di questa formola si ricordi che l'angolo deve essere misurato in radianti. Lo studente farà bene a rendersi intuitiva della formola costruendo un diagramma della curva .

Ni ci accontenteremo di scrivere varii valori approssimati di detta funzione: ciò che basterà a rendere sensibile il fatto che, quanto più si avvicina a zero, tanto più si avvicina ad . [p. 122 modifica]

Per

Per

Per

Per

Se con indichiamo la misura in gradi dell'angolo di radianti, asrà: ; e quindi 1

La misura in radianti è appunto per ciò fondamentale, perchè, se misurassimo gli angoli in gradi, dovremmo continuamente nelle corrispondenti formole di calcolo la costante testé determinata.

La dimostrazione della nostra formola si compie facilmente.

Per è (§ 5, δ, pag. 19).

Dividendo per (positivo) si ha:

.


Poichè , anche . Poichè la funzione ha pure per limite , il teorema precedente dimostra che

.

[p. 123 modifica]E il limite non muta, supponendo negativo; perchè, se si cambia il segno di , anche cambia di segno, e quindi rimane invariato.

Es. Trovare . Si ha, posto ,

.


Per , ossia per è . Quindi .

Note

  1. Questo numero è la misura in radianti dell'angolo di un grado. Se si misurasse invece l'angolo in gradi centesimali, il valore di questo limite darebbe .