Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 37

by Guido Fubini

Capitolo 6 - Un limite fondamentale

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 37. - Un limite fondamentale.

α) È ben evidente che, se due punti $A_{1},A_{2}$ si avvicinano indefinitamente nello stesso tempo ad uno stesso punto $L$, un punto $A$, il quale sia sempre compreso nell'intervallo $A_{1},A_{2}$ dovraà pure tendere ad $L$. Questa osservazione rende intuitivo il

Teor. Se$y,y_{1},y_{2}$, sono tre funzioni reali della x definite in uno stesso gruppo G, se per ogni valore di x in G la y è compresa tra $y_{1}$ ed $y_{2}$ ($y_{1}\leq y\leq y_{2}$ oppure $y_{1}\geq y\geq y_{2}$), e se $\lim y_{1}=\lim _{x=a}y_{2}$, anche $\lim _{x=a}=\lim _{x=a}y_{1}=\lim y_{2}$.

Supponiamo, p. es., $\lim _{z=a}y_{1}=\lim _{x=a}y_{2}=A=$ numero finito. Come al § 35 si dimostra che, dato un numero ε>0 piccolo a piacere, esiste un intorno α di a, in cui valgono entrambe le $|y_{1}-A|<\epsilon |y_{2}-A|<\epsilon$. Poichè y è compreso tra $y_{1}<math>ed<math>y_{2}$, sarà in $\alpha$ anche $|y-A|<\epsilon$. Ne segue quindi che, dato $\epsilon$ piccolo a piacere, esiste un intorno $\alpha$ di a, in cui vale la $|y-A|<\epsilon$. Perciò sarà $\lim _{x=a}y=A$.

Il lettore troverà un utile esercizio, completando questa dimostrazione per il caso $A=\infty$.

β) Applicheremo ora questo teorema alla dimostrazione della

$\lim _{x=0}{\frac {\operatorname {sen} x}{x}}=1$.

Per una retta interpretazione di questa formola si ricordi che l'angolo $x$ deve essere misurato in radianti. Lo studente farà bene a rendersi intuitiva della formola costruendo un diagramma della curva $y={\frac {\operatorname {sen} x}{x}}$.

Ni ci accontenteremo di scrivere varii valori approssimati di detta funzione: ciò che basterà a rendere sensibile il fatto che, quanto più $x$ si avvicina a zero, tanto più $y={\frac {\operatorname {sen} x}{x}}$ si avvicina ad $1a$.

Per $x=\pm {\frac {\pi }{2}},y={\frac {2}{\pi }}={\frac {2}{3,14159\cdots }}=0,63662\cdots$

Per $x=\pm {\frac {\pi }{4}},y={\frac {2{\sqrt {2}}}{3,14159\cdots }}=0,90032\cdots$

Per $x=\pm {\frac {\pi }{180}},y=0,99995\cdots$

Per $x=\pm {\frac {\pi }{60.180}},y=0,99999\cdots$

Se con $z$ indichiamo la misura in gradi dell'angolo di $x$ radianti, asrà: $z={\frac {180x}{\pi }}$; e quindi $\lim _{z=0}{\frac {\operatorname {sen} z}{z}}={\frac {\pi }{180}}\lim {\frac {\operatorname {sen} x}{x}}={\frac {\pi }{180}}={\frac {3,141519\cdots }{180}}=0,01745\cdots$¹

La misura in radianti è appunto per ciò fondamentale, perchè, se misurassimo gli angoli in gradi, dovremmo continuamente nelle corrispondenti formole di calcolo la costante ${\frac {3,14159\cdots }{180}}$ testé determinata.

La dimostrazione della nostra formola si compie facilmente.

Per $0<x<{\frac {\pi }{2}}$ è $\operatorname {sen} x<x<\tan x$ (§ 5, δ, pag. 19).

Dividendo per $\operatorname {sen} x$ (positivo) si ha:

$1<{\frac {x}{\operatorname {sen} x}}<{\frac {1}{\cos x}}$.

Poichè $\lim _{x=0}\cos x=1$, anche $\lim _{x=0}{\frac {1}{\cos x}}=1$. Poichè la funzione $y=1$ ha pure per limite $1$, il teorema precedente dimostra che

$\lim _{x=0}{\frac {x}{\operatorname {sen} x}}=1=\lim _{x=0}{\frac {\operatorname {sen} x}{x}}$.

E il limite non muta, supponendo $x$ negativo; perchè, se si cambia il segno di $x$, anche $\operatorname {sen} x$ cambia di segno, e quindi${\frac {\operatorname {sen} x}{x}}$ rimane invariato.

Es. Trovare $\lim _{x=0}{\frac {1-\cos x}{x}}$. Si ha, posto $x=2y$,

${\frac {1-\cos x}{x}}={\frac {2\operatorname {sen} ^{2}y}{2y}}={\frac {\operatorname {sen} y}{y}}\operatorname {sen} y$.

Per $x=0$, ossia per $y=o$ è $\lim \operatorname {sen} y=0,\lim {\frac {seny}{y}}=1$. Quindi $\lim _{x=0}{\frac {1-\cos x}{x}}=1.0=0$.

Note

1. Questo numero è la misura in radianti dell'angolo di un grado. Se si misurasse invece l'angolo in gradi centesimali, il valore di questo limite darebbe ${\frac {\pi }{200}}=0,01570\cdots$.