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FUNZIONI, LIMITI

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E il limite non muta, supponendo $x$ negativo; perchè, se si cambia il segno di $x$, anche $\operatorname {sen} x$ cambia di segno, e quindi${\frac {\operatorname {sen} x}{x}}$ rimane invariato.

Es. Trovare $\lim _{x=0}{\frac {1-\cos x}{x}}$. Si ha, posto $x=2y$,

${\frac {1-\cos x}{x}}={\frac {2\operatorname {sen} ^{2}y}{2y}}={\frac {\operatorname {sen} y}{y}}\operatorname {sen} y$.

Per $x=0$, ossia per $y=o$ è $\lim \operatorname {sen} y=0,\lim {\frac {seny}{y}}=1$. Quindi $\lim _{x=0}{\frac {1-\cos x}{x}}=1.0=0$.

§ 38. — Un altro limite fondamentale.

α) Se un punto $A$ si muove sopra una retta sempre nello stesso verso, p. es., verso destra, è ben chiaro che possono presentarsi solo due casi:

1° Il punto $A$ finisce con l'allontanarsi indefinitamente a destra.

Oppure

2° Esiste un punto $L$, che il punto $A$ non supera, pure avvicinandosi ad esso indefinitamente. Così, p. es., se il punto $A$ ha una velocità costante, si presenterà evidentemente il primo caso. Se invece $A$ nel primo minuto percorre cm. 1, nel secondo cm. ${\frac {1}{2}}$, nel terzo cm. ${\frac {1}{4}}$, nel quarto cm. ${\frac {1}{8}}$, $\cdots$ nello $n^{esimo}$ minuto cm. ${\frac {1}{2^{n-1}}}$, esso dopo nminuti avrà percorso

cm. $\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right)={\frac {1-{\frac {1}{2^{n}}}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}$.

Il punto $A$ non sarà perciò mai riuscito ad allontanarsi al di là di quel punto $L$, che ha una distanza di cm. $2$ dal punto di partenza, pure diventando (al crescere di $n$) la distanza di $AL\left({\text{che è}}{\frac {1}{2^{n}-1}}\right)$ piccola a piacere.